Cách tính nguyên hàm phân thức

Để tính nguyên hàm phân thức các em cần áp dụng các công thức dưới đây.

Công thức nguyên hàm phân thức

$ \int \dfrac{1}{x} d x=\ln |x|+C$

$ \int \dfrac{1}{x+a} d x=\ln |x+a|+C$

$ \int \dfrac{1}{x-a} d x=\ln |x-a|+C$

$ \int \dfrac{1}{k x+a} d x=\dfrac{1}{k} \ln |k x+a|+C$

$ \int \dfrac{1}{k x-a} d x=\dfrac{1}{k} \ln |k x-a|+C$

Cách tính nguyên hàm phân thức

Để tính được nguyên hàm của các hàm phân thức các em xem ví dụ có lời giải dưới đây.

Bài 1: Cho $ \dfrac{1}{(x+2)(x-5)(x+4)}=\dfrac{A}{(x+2)}+\dfrac{B}{(x-5)}+\dfrac{C}{(x+4)}$. Khi đó tổng S = A + B + C bằng

A. $ \dfrac{1}{18}$

B. $0$

C. $ \dfrac{1}{14}$

D. $-\dfrac{1}{63}$

Giải:

$ \dfrac{1}{(x+2)(x-5)(x+4)}=\dfrac{A}{(x+2)}+\dfrac{B}{(x-5)}+\dfrac{C}{(x+4)}$

$ \Rightarrow A(x-5)(x+4)+B(x+2)(x+4)+C(x+2)(x-5)=1$

$+) x=-2 \Rightarrow-14 A=1$

$ \Rightarrow A=-\dfrac{1}{14}$

$+) x=5 \Rightarrow 63 B=1$

$ \Rightarrow B=\dfrac{1}{63}$

$+) x=-4 \Rightarrow 18 C=1$

$ \Rightarrow C=\dfrac{1}{18}$

$ \Rightarrow A+B+C=0$

⇒ Chọn đáp án B.

Ví dụ 2. Tìm $ \int \dfrac{\mathrm{d} x}{x^{2}-3 x+2}$ là:

A. $ \ln \dfrac{1}{x-2}-\ln \dfrac{1}{x-1}+C$

B. $ \ln \left|\dfrac{x-2}{x-1}\right|+C$

C. $ \ln \left|\dfrac{x-1}{x-2}\right|+C$

D. $ \ln (x-2)(x-1)+C$

Giải:

$ \int \dfrac{d x}{x^{2}-3 x+2}=\int \dfrac{d x}{(x-1)(x-2)}$

$=\int\left(\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x-1}\right) d x$

$=\ln |x-2|-\ln |x-1|+C$

$=\ln \left|\dfrac{x-2}{x-1}\right|+C$

⇒ Chọn đáp án B.

Bài 3: Cho $ I=\int{{\dfrac{{5-3x}}{{\left( {{{x}^{2}}-5x+6} \right)\left( {{{x}^{2}}-2x+1} \right)}}}}dx=\dfrac{a}{{x-1}}-\ln \left| {\dfrac{{x-b}}{{x-2}}} \right|+C$. Khi đó $P = 2a + b$ bằng:

A. 0            B. 1              C. 2               D. 3

Giải:

$I=\int \dfrac{\left(x^{2}-5 x+6\right)-\left(x^{2}-2 x+1\right)}{\left(x^{2}-5 x+6\right)\left(x^{2}-2 x+1\right)} d x=\int \dfrac{d x}{(x-1)^{2}}-\int \dfrac{d x}{(x-2)(x-3)}$

$=\int \dfrac{d x}{x^{2}-2 x+1}-\int \dfrac{d x}{x^{2}-5 x+6} \quad I=\int(x-1)^{-2} d x-\int\left(\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x-2}\right) d x$

$=\dfrac{x^{-1}}{-1}-(\ln |x-3|-\ln |x-2|)+C$

$=\dfrac{-1}{x-1}-\ln \left|\dfrac{x-3}{x-2}\right|+C$

⇒ Chọn đáp án B.

Bài 4: Cho $I=\int \dfrac{x^{2}+1}{x^{2}(x+1)} d x=a \ln |x+1|-\dfrac{1}{x}+b \ln | x+c$. Khi đó $P = 2(a + b)c$ bằng

A. 2              B. −2                  C. 1                  D. 0

Giải:

$I=\int \dfrac{x^{2}+1}{x^{2}(x+1)} d x=\int \dfrac{x^{2}+(x+1)-x}{x^{2}(x+1)} d x$

$=\int\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{x(x+1)}\right) d x$

$=\int\left[\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x^{2}}-\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}\right)\right] d x$

$=\int\left[\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{x}\right] d x$

$=2 \ln |x+1|-\dfrac{1}{x}-\ln |x|+C$

$ \Rightarrow a=2, b=-1, c=0 \Rightarrow P=0$

Suy ra $a=-1 ; b=3 \Rightarrow P=2 a+b=1$

⇒ Chọn đáp án D.

Bài 5: Tìm hàm số f(x)= x² + ax + ln |bx+ 1| + c biết $ {{f}^{\prime }}(x)=\dfrac{{4{{x}^{2}}+4x+3}}{{2x+1}}$ và f(0) = 1. Khi đó S = (2a − b)³.c bằng

A. 0

B. $1 \quad$

C. $ \dfrac{2}{3}$

D. 4

Giải:

Ta có:

$ f(x)=\int{{\dfrac{{4{{x}^{2}}+4x+3}}{{2x+1}}}}dx$

$ =\int{{\left( {2x+1+\dfrac{2}{{2x+1}}} \right)}}dx$

$=x^{2}+x+\ln |2 x+1|+c$

Mà $f(0)=1$ nên $c=1 .$ Khi dó, $f(x)=x^{2}+x+\ln |2 x+1|+1$

Suy ra $ \text{a}=1,\text{b}=2,\text{c}=1$ nên $ \mathrm{S}=(2 \mathrm{a}-\mathrm{b})^{3} \mathrm{c}=0$