Bài tập: Dãy số

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Dãy cách đều

+  Cách tìm quy luật và viết thêm số hạng.

+  Công thức tính số hạng của một dãy cách đều. Tổng của dãy cách đều.

+  Tìm xem một số nào đó có thuộc dãy hay không?

+  Tìm vị trí của một số nào đó trong dãy?

2. Dãy không cách đều

Với dãy không cách đều yêu cầu tính tổng thường chỉ có đối với một số dãy đặc biệt. Để giải được các bài toán này ta cần xác định quy luật của dãy số.

Các quy luật thường gặp của dãy số là:

a) Cấp số nhân: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân (hoặc chia) với một số tự nhiên q khác 0 (được gọi là công bội của dãy)
Ví dụ: ½ được gọi là công bội của dãy 1/2 ; 1/4 ; 1/8 ;….

b) Dãy số Phibonasi: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng của hai số hạng đứng liền trước nó: 1; 2; 3; 5;…

c) Dãy phân số có quy luật: Các kiểu dãy thường gặp:

• $ S_{1}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{{16}}+\dfrac{1}{{32}}$
• $ S_{2}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{{27}}+\dfrac{1}{{81}}+\dfrac{1}{{243}}$
• $ S_{3}=\dfrac{1}{{1\times 2}}+\dfrac{1}{{2\times 3}}+\dfrac{1}{{3\times 4}}+….+\dfrac{1}{{9\times 10}}$
• $ \displaystyle S_{4}=\dfrac{2}{{1\times 3}}+\dfrac{2}{{3\times 5}}+\dfrac{2}{{5\times 7}}+….+\dfrac{2}{{19\times 21}}$

LUYỆN TẬP

Bài 1. Cho dãy số: 0; 2; 4; 6; 8;….

a) Tìm quy luật và viết thêm 3 số hạng tiếp theo của dãy.

b) Tìm số hạng thứ 150 của dãy

c) Cho các số 2010; 2011. Hỏi có số nào thuộc dãy đó không? Nếu thuộc nó là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?

d) Tính tổng 200 số hạng đầu tiên của dãy.

Bài 2. Cho dãy số: 1; 4; 7; 10; 13;….

a) Tìm quy luật và viết thêm 3 số hạng tiếp theo của dãy.

b) Tìm số hạng thứ 100 của dãy.

c) Hãy cho biết trong các số 2009; 2010; 2011; 2012 số nào thuộc dãy? Nếu thuộc nó là số hạng thứ bao nhiêu trong dãy?

d) Tính tổng 60 số hạng đầu tiên của dãy.

Bài 3. Cho dãy 1; 3; 5; 7; 9; 11;….; 2008; 2010.

a) Tìm quy luật và viết thêm 3 số hạng tiếp tiếp theo vào chỗ trống “…”

b) Cho biết số 299 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?

c) Tìm số hạng thứ 101 của dãy.

Bài 4. Cho dãy số 0; 2; 4; 6; 8; 10;…; 2008; 2010.

a) Tìm quy luật và viết thêm 3 số hạng tiếp theo vào chỗ trống “…”

b) Tìm số hạng thứ 150 của dãy.

c) Hỏi số 286 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?

Bài 5. Cho dãy các số tự nhiên liên tiếp: 1; 2; 3; 4; 5; …; 2010.

a) Để viết các số của dãy phải dùng tất cả bao nhiêu chữ số?

b) Dãy có tất cả bao nhiêu chữ số 5? Bao nhiêu chữ số 1?

Bài 6. Để đánh số trang của một quyển sách dày 238 trang cần dùng bao nhiêu chữ số?

Bài 7. Để đánh số trang của một quyển sách người ta phải dùng tất cả 234 chữ số. Hỏi quyển sách đố có bao nhiêu trang?

Bài 8. Viết liên tiếp các số tự nhiên 123… để được một số có 2010 chữ số. Chữ số hàng đơn vị của số đó là bao nhiêu?

Mở rộng: Tìm số dư của phép chia số đó cho 2; 3; 5; 4; 9; 25.

Bài 9. Cho dãy số 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; …; 0,97; 0,98; 0,99; 0,100.

a) Viết thêm 5 số hạng tiếp theo vào chỗ trống “…”

b) Tính tổng các số hạng của dãy đó.

Bài 10. Cho dãy số 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; ….

a) Dựa vào cách viết các số của dãy hãy viết thêm 3 số hạng tiếp theo.

b) Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy.

c) Hỏi số hạng thứ 100 của dãy là số nào?

d) Tìm tích 20 số hạng đầu tiên của dãy.

Bài 11. Cho dãy các phân số: $ \dfrac{1}{1};\dfrac{1}{2};\dfrac{2}{1};\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{2};\dfrac{3}{1};….$

a) Dựa vào cách viết các số hạng của dãy hãy viết thêm 5 số hạng tiếp theo.

b) Hỏi các phân số $ \dfrac{{19}}{{20}};\dfrac{{50}}{{31}}$ là các phân số thứ bao nhiêu của dãy?

c) Hỏi phân số thứ 60 của dãy là phân số nào?

Bài 12. Viết thêm bốn số hạng của các dãy số sau:

a) 1, 2, 3, 5, 8, 13,

b) 3, 6, 12, 24,

c) 1, 4, 9, 16, 25, 36,

d) 2, 12, 30, 56, 90,

e) 1, 5, 14, 33, 72,

f) 2, 20, 56, 110, 182,

Bài 13. Tính tổng của:

a) 100 số tự nhiên từ 1005

b) 20 số lẻ liên tiếp kể từ 19 trở đi

c) 20 số chẵn liên tiếp kể từ 24 trở đi

d) 20 số hạng của dãy số 7, 10, 13, 16,…

e) Các số có hai chữ số mà mỗi số có tận cùng là 7

Bài 14. Tính các tổng sau:

a) $ S_{1}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{{16}}+\dfrac{1}{{32}}$

b) $ S_{2}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{{27}}+\dfrac{1}{{81}}+\dfrac{1}{{243}}$

c) $ S_{3}=\dfrac{1}{{1\times 2}}+\dfrac{1}{{2\times 3}}+\dfrac{1}{{3\times 4}}+….+\dfrac{1}{{2009\times 2010}}$

d) $ S_{4}=\dfrac{2}{{1\times 3}}+\dfrac{2}{{3\times 5}}+\dfrac{2}{{5\times 7}}+….+\dfrac{2}{{2009\times 2011}}$

Bài 15. Tính:

a) A = $ 1+5+9+…+441$

b) B = $ \dfrac{4}{{1\times 3}}+\dfrac{4}{{3\times 5}}+\dfrac{4}{{5\times 7}}+….+\dfrac{4}{{49\times 51}}$

c) C = $ \dfrac{1}{{3\times 5}}+\dfrac{1}{{5\times 7}}+\dfrac{1}{{7\times 9}}+….+\dfrac{1}{{21\times 23}}$

Bài 16. Tính: $ \displaystyle 1\dfrac{1}{2}+2\dfrac{1}{4}+3\dfrac{1}{8}+4\dfrac{1}{{16}}+….+9\dfrac{1}{{512}}$

Bài 17. Cho dãy số tự nhiên liên tiếp: 1, 2, 3, 4,… ,2010. Hỏi dãy có bao nhiêu chữ số?

Bài 18. Cho dãy số tự nhiên liên tiếp: 1, 2, 3, 4,… , x. Tìm x biết dãy có 1989 chữ số.

Bài 19. Cho dãy số chẵn liên tiếp: 2, 4, 6, 8, 10, …, 2468.

a) Hỏi dãy có bao nhiêu chữ số?

b) Tìm chữ số thứ 2009 của dãy số đó.

Bài 20. Cho dãy số 1,1; 2,2; 3,3; …; 108,9; 110,0.

a) Dãy số này có bao nhiêu số hạng?

b) Số hạng thứ 50 của dãy là số hạng nào?

Bài 21. Cho dãy số 3, 18, 48, 93, 153,…

a) Tìm số hạng thứ 100 của dãy.

b) Số 11703 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?

Bài 22. Từ 1975 đến 4300 có bao nhiêu số chẵn? Bao nhiêu số lẻ? Bao nhiêu số tận cùng là 7?

Bài 23. Tính:

a) $ S_{1}=\dfrac{4}{{1\times 3}}+\dfrac{4}{{3\times 5}}+\dfrac{4}{{5\times 7}}+….+\dfrac{4}{{49\times 51}}$

b) $ S_{2}=\dfrac{2}{{1\times 5}}+\dfrac{2}{{5\times 9}}+\dfrac{2}{{9\times 13}}+….+\dfrac{2}{{81\times 85}}$

c) $ S_{3}=\dfrac{3}{{4\times 9}}+\dfrac{3}{{9\times 14}}+\dfrac{3}{{14\times 19}}+….+\dfrac{3}{{34\times 39}}$
Bài 24. Cho dãy số: 1; 2; 3; 4; …; x. Tìm x biết:

a) Số chữ số của dãy đó bằng 2 lần x.

b) Số chữ số của dãy đó bằng 3 lần x.

Bài 25. Cho n là số tự nhiên được viết bởi 2013 chữ số 9. Tính phần thập phân của phép chia n cho 15.

Bài 26. Tổng kết học kỳ I, khối 5 của một trường có số học sinh nam chiếm 56% trong đó có 75% em đạt học lực giỏi. Hỏi khối 5 của trường có tỉ lệ bao nhiêu phần trăm đạt học sinh giỏi? Biết có 20% số nữ không đạt giỏi.

Bài 27. Người ta pha 1 lít cồn 90⁰ với 4 lít cồn 50⁰. Hỏi dung dịch cồn mới có nông độ bao nhiêu?

Bài 28. Bình bán một món hàng với giá kém hơn giá niêm yết là 10.000 đồng và được tiền công là 10%. An cũng bán món hàng ấy với giá kém hơn giá niêm yết là 20.000 đồng và được tiền công là 12%. Nếu cả hai người cùng được số tiền công giống nhau thì giá niêm yết của sản phẩm là bao nhiêu?

Bài 29. Sản lượng cà phê của tỉnh A hơn tỉnh B là 26,5%, mặc dù diện tích trông cà phê của tỉnh A chỉ hơn của tỉnh B là 10%. Hỏi năng suất thu hoạch cả phê của tỉnh A nhiều hơn tỉnh B bao nhiêu phần trăm?

Bài 30. Một trăm học sinh lớp 4 và lớp 5 của một trường tham dự một kỳ thi học sinh giỏi. Điểm trung bình của họ là 100. Trong đó số học sinh khối 4 nhiều hơn khối 5 là 50% và điểm trung bình của khối 5 cao hơn khối 4 là 50%. Hỏi điểm trung bình của học sinh khối 5 là bao nhiêu?

Bài 31. Một lọ đựng các đồng tiền và các hạt cườm (bằng vàng hay bạc). Biết 20% vật trong lọ là hạt cườm, 15% số hạt cườm làm bằng vàng và 40% số đồng tiền làm bằng bạc. Hỏi số vật bằng vàng chiếm bao nhiêu phần trăm?

Bài 32. Một cửa hàng bán mứt trong dịp Tết đã bán được 4/5 số lượng mứt và lãi 25% so với giá vốn. Số còn lại bán lỗ 25% so với giá vốn. Hỏi cửa hàng bán được lãi hay lỗ bao nhiêu % so với giá vốn?

Bài 33. Tính diện tích của một hình chữ nhật biết nếu tăng chiều dài 25%, giảm chiều rộng 25% thì diện tích hình chữ nhật đó giảm 625cm².

*Download file word Bài tập: Dãy số.docx bằng cách click vào nút Tải về dưới đây.