Học bất đẳng thức như thế nào? Các em cần ghi nhớ các kỹ năng quan trọng dưới đây:
Xác định điểm rơi
Định luật bảo toàn dấu bằng hay còn gọi là điểm rơi của bài toán.
Bậc của BĐT và kĩ năng đồng bậc hoá
BĐT đồng bậc là tất cả các hạng tử của đa thức đó có bậc bằng nhau.
VD: a² +b² ≥ 2ab đều cùng bậc 2 cả vế trái và vế phải.
Đồng bậc hoá BĐT là quá trình sử dụng giả thiết để đưa BĐT không đồng bậc về dạng tương đương với một BĐT đồng bậc.
Đây là cơ sở để người ra đề giấu bản chất bài toán, khiến người giải bị lạc lối ..
VD: cho xy= 1. CMR: x² + y² ≥ 2
BĐT cần chứng minh vế trái và vế phải ko đồng bậc, tìm cách làm vế phải có bậc giống vế trái dựa vào gt và biến đổi tương đương (quy tắc 3), BĐT được giải quyết xong!
x² + y² ≥ 2xy <=> (x-y)²≥ 0
Ghép đối xứng
Thành thạo bài toán cosi tổng ta tích với điểm rơi tự nhiên và điều chỉnh hệ số với điểm rơi nhân tạo.
Cosi: mx + n/x ≥ 2√(mn) trong đó điểm rơi tự nhiên: x =√(n/m) > x của TXD
Khi điểm rơi tự nhiên < x của TXD thì hệ số điều chỉnh a = n/x² với x là điểm rơi nhân tạo ≥ x của TXD
khi đó biến đổi biểu thức thành dạng n/x + ax + (m-a)x.
trong đó n/x + ax đánh giá theo Cosi
(m-a)x đánh giá theo TXD
Kĩ thuật biến đổi tương đương
Là các phép biến đổi đại số đưa BĐT về dạng tương đương để đánh giá thuận tiện hơn, đa phần BĐT cuối cùng đưa về dạng bậc chẵn hoặc dạng tích mà đk của TXD giúp chúng ta chứng minh được BĐT≥ 0
Sắp xếp các biến
Đây là câu hỏi nhiều bạn ko biết tại sao và khi nào dùng được quy tắc này khi thấy nhiều lời giải hay ghi câu “Không mất tính tổng quát, giả sử a≥b≥c…” mà ko nói tại sao??? họ biết nhưng họ bỏ câu phía trước rồi!
Tính chất 1: BĐT là hoán vị có thể giả sử một số là lớn nhất (nhỏ nhất) hoặc nằm giữa trong ba số.
Tính chất 2: BĐT là đối xứng ta có thể giả sử a≥b≥c
Vậy BĐT có tính hoán vị, đối xứng được định nghĩa ntn?
BĐT f(a,b,c)≥ 0 có tính hoán vị nếu f(a,b,c)=f(b,c,a)=f(c,b,a)
BĐT f(a,b,c) có tính đối xứng là BĐT hoán vị + đổi chỗ b và c vẫn bằng nhau, tức là: f(a,b,c)=f(b,c,a)=f(c,b,a)=f(a,c,b)
Phân biệt và hiểu về độ mạnh yếu (độ chặt) trong BĐT
Hệ quả quan trọng: nếu BĐT (1) suy ra được BĐT (2) nhưng (2) ko suy ngược lại (1) thì BĐT (1) mạnh hơn BĐT (2)
Khái niệm mạnh yếu giúp chúng ta lí giải thật sự logic và rõ ràng tình huống “bị ngược dấu” khi chứng minh BĐT
Một số ý tưởng đơn giản hoá bài toán:
– Ý tưởng 1: Tìm cách đưa BĐT về bậc càng thấp.
– Ý tưởng 2: Giảm số lượng biến bằng hai cách: đổi biến (đặt ẩn phụ) và phương pháp dồn biến.
– Ý tưởng 3: BĐT chứa căn thì phải tìm cách phá căn bằng:
+ Nâng lũy thừa
+ Đặt ẩn phụ
+ Áp dụng BĐT cơ bản và bổ đề: cosi tích ra tổng, Bunhiacopxki