PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Cách làm dạng bài tìm x để giá trị của một phân thức đã cho thỏa mãn điêu kiện cho trước ta sử dụng các kiến thức sau:
+ $ \dfrac{A}{B}>0$ khi và chỉ khi A và B cùng dấu;
+ $ \dfrac{A}{B}>0$ khi và chỉ khi A và B trái dấu.
Hằng đẳng thức đáng nhớ và chú ý a2 ≥ 0 với mọi giá trị của a.
Với a; b ∈ Z và b ≠ 0 ta có: $ \dfrac{a}{b}\in Z\Leftrightarrow b\in $Ư (a).
5A. Cho phân thức $ A=\dfrac{{x+2}}{{x-1}}$ với $ x\ne 1.$
a) Tìm x để A > 1;
b) Tìm x ∈ Z để A ∈ Z
5B. Cho phân thức $ B=\dfrac{{x^{2}-x+2}}{{x-3}}$ với $ x\ne 3.$
a) Tìm x để B > 0;
b) Tìm x ∈ Z để B ∈ Z
6A. a) Tìm x để phân thức $ M=\dfrac{8}{{x^{2}-4x+12}}$ đạt giá trị lớn nhất;
b) Tìm x để phân thức $ N=\dfrac{{-5}}{{x^{2}+2x+11}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
6B. Cho biểu thức $ C=\dfrac{{x^{2}}}{{x-2}}.\left( {\dfrac{{x^{2}+4}}{x}-4} \right)+3.$
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức C;
b) Rút gọn biểu thức C;
c) Tìm x để C có giá trị nhỏ nhất.
6C. Cho biểu thức $ A=\dfrac{3}{{x^{2}-2x+2}}.$
a) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất;
b) Tìm x để A ∈ Z
5A. a) ta có A > 1 dẫn đến $ \dfrac{3}{{x-1}}>0\Leftrightarrow x>1$ (TMĐK)
b) Ta có $ A=1+\dfrac{3}{{x-1}}$ nên $ A\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow (x-1)$nhận giá trị là Ư(8). Từ đó tìm được $ x\in \left\{ {-5;-1;1;2;4;5;7;11} \right\}$
6A. a) Ta có x2 – 4x + 12 = (x – 2)2 + 8 ≥ 8 hay $ \dfrac{1}{{x^{2}+2x+11}}\le \dfrac{1}{{10}}\Rightarrow N\ge -\dfrac{1}{2}$
Giá trị nhỏ nhất của $ N=-\dfrac{1}{2}$ khi x = -1.
Chú ý: Ở bài 6A. Ta dựa vào lập luận.
* Nếu $ M\ge a\Leftrightarrow \dfrac{1}{M}\le \dfrac{1}{a}$;
* Nếu $ M\le a\Leftrightarrow \dfrac{1}{M}\ge \dfrac{1}{a}$;
Với điều kiện cả M và a đều là các số dương, còn khi a < 0 thì không còn đúng nữa.
6B. a) x ≠ 0, x ≠ 2.
b) Ta có C = x2 – 2x + 3.
c) Ta có C = x2 – 2x + 3 = (x – 1)2 + 2 ≥ 2
Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của C = 2 khi x = 1.
6C. a) Tương tự 6A. ⇒ Giá trị lớn nhất của A = 3 khi x = 1.
b) Ta chứng minh được 0 < A ≤ 3 mà A $ \in \mathbb{Z}$ ⇒ A ∈ {1;2;3}.
Ta có:
* $ A=1\Rightarrow x^{2}-2x-1=0\Rightarrow x=1\pm \sqrt{2}$
* $ A=2\Rightarrow x^{2}-2x+\dfrac{1}{2}=0\Rightarrow x=1\pm \dfrac{1}{{\sqrt{2}}}$
* $ A=3\Rightarrow x^{2}-2x+1=0\Rightarrow x=1$
Vậy $ x\in \left\{ {1\pm \sqrt{2};1\pm \dfrac{1}{{\sqrt{2}}};1} \right\}$