KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Khai phương một thương
a) Định lí:Nếu $a \geq 0 ; b>0$thì $\displaystyle\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
b) Quy tắc:Muốn khai phương một thương $\displaystyle\frac{a}{b}$, trong đó a là số không âm, b là số dương thì ta khai phương số a và khai phương số b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.
2. Chia hai căn thức bậc hai
Quy tắc: Muốn chia hai căn thức bậc hai của số a không âm cho căn bậc hai của số b dương, ta có thể chia số a cho số b rồi khai phương kết quả đó.
$\displaystyle\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a \geq 0 ; b>0)$
BÀI TẬP VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tính
a) $\displaystyle\sqrt{\frac{225}{256}}$; b) $\displaystyle\sqrt{0,0196}$.
Bài giải:
a) $\displaystyle\sqrt{\frac{225}{256}}=\frac{\sqrt{225}}{\sqrt{256}}=\frac{\sqrt{15^{2}}}{\sqrt{16^{2}}}=\frac{15}{16}$
b) $\displaystyle\sqrt{0,0196}=\sqrt{\frac{196}{10000}}=\frac{\sqrt{196}}{\sqrt{10000}}=\frac{\sqrt{14^{2}}}{\sqrt{100^{2}}}=\frac{14}{100}=\frac{7}{50}$.
Ví dụ 2: Rút gọn:
a) $\displaystyle\sqrt{\frac{2 a^{2} b^{4}}{50}}$ (với $a, b$bất kì) b) $\displaystyle\frac{\sqrt{2 a b^{2}}}{\sqrt{162}}$ (với $a>0$ và $b$ bất kì)
Bài giải:
a) Với $a, b$ bất kì, ta có: $\displaystyle\sqrt{\frac{2 a^{2} b^{4}}{50}}=\frac{\sqrt{2 a^{2} b^{4}}}{\sqrt{50}}=\frac{|a| b^{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{25.2}}=\frac{|a| b^{2} \cdot \sqrt{2}}{5 \sqrt{2}}=\frac{|a| b^{2}}{5}$.
b) Với $a>0$, $b$ bất kì, ta có: $\displaystyle\frac{\sqrt{2 a b^{2}}}{\sqrt{162}}=\frac{|b| \sqrt{2 a}}{\sqrt{812}}=\frac{|b| \sqrt{2} \cdot \sqrt{a}}{9 \cdot \sqrt{2}}=\frac{|b| \cdot \sqrt{a}}{9}$.
BÀI TẬP VẬN DỤNG
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Tìm x, biết:
a) $\displaystyle\sqrt{2} \mathrm{x}-\sqrt{50}=0$
b) $\displaystyle\sqrt{3} x^{2}-\sqrt{12}=0$
Bài giải:
a) Ta có $\displaystyle\sqrt{2} \mathrm{x}-\sqrt{50}=0 \Leftrightarrow \mathrm{x}=\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \mathrm{x}=\sqrt{\frac{50}{2}} \Leftrightarrow \mathrm{x}=\sqrt{25} \Leftrightarrow \mathrm{x}=5$.
Vậy giá trị cần tìm là: $x=5$.
b) Ta có $\displaystyle\sqrt{3} \mathrm{x}^{2}-\sqrt{12}=0 \Leftrightarrow \mathrm{x}^{2}=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$
$\displaystyle\Leftrightarrow x^{2}=\sqrt{\frac{12}{3}} \Leftrightarrow x^{2}=\sqrt{4} \Leftrightarrow x^{2}=2$.
$\displaystyle\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-\sqrt{2} \\ x=\sqrt{2}\end{array}\right.$
Vậy giá trị cần tìm là: $\displaystyle\mathrm{x} \in\{-\sqrt{2} ; \sqrt{2}\}$.
Bài 2: Tìm x, biết: $\displaystyle\sqrt{3} \mathrm{x}+\sqrt{3}=\sqrt{12}+\sqrt{27}$
Bài giải:
$\displaystyle\sqrt{3} x+\sqrt{3}=\sqrt{12}+\sqrt{27}$
$\displaystyle\Leftrightarrow \sqrt{3} \cdot(x+1)=\sqrt{3} \cdot(\sqrt{4}+\sqrt{9})$
$\displaystyle\Leftrightarrow \sqrt{3} \cdot(x+1)=\sqrt{3} \cdot 5$
$\displaystyle\Leftrightarrow x+1=5$
$\displaystyle\Leftrightarrow x=4$
Vậy giá trị cần tìm là: $x=4$.
BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a) $\displaystyle\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{3+\sqrt{15}}$
b) $\displaystyle\frac{3 \sqrt{7}+7 \sqrt{3}}{\sqrt{21}}$
Bài giải:
a) $\displaystyle\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{3+\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}+\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3} \cdot(\sqrt{3}+\sqrt{5})}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
b) $\displaystyle\frac{3 \sqrt{7}+7 \sqrt{3}}{\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{7}+\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{21}}$
$\displaystyle =\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{21}+\sqrt{7} \cdot \sqrt{21}}{\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{21} \cdot(\sqrt{3}+\sqrt{7})}{\sqrt{21}}=\sqrt{3}+\sqrt{7}$
Bài 2: Rút gọn biểu thức: $\displaystyle M=\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}$
Bài giải:
Ta có
$\displaystyle 4+\sqrt{7}=\frac{8+2 \sqrt{7}}{2}=\frac{7+2 \sqrt{7}+1}{2}=\left(\frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{2}}\right)^{2}$
$\displaystyle 4-\sqrt{7}=\frac{8-2 \sqrt{7}}{2}=\frac{7-2 \sqrt{7}+1}{2}=\left(\frac{\sqrt{7}-1}{\sqrt{2}}\right)^{2}$
Do đó
$\displaystyle M=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{2}}\right)^{2}}-\sqrt{\left(\frac{\sqrt{7}-1}{\sqrt{2}}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{7}-1}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$