1. Các bước khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = f(x)
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. Xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn của hàm số để thu hẹp phạm vi khảo sát.
Bước 2: Xét sự biến thiên :
+ Xét sự biến thiên của hàm số : y=f(x)
– Tìm đạo hàm bậc nhất y’
– Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc không xác định
– Xét dấu y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số
+ Tìm cực trị
+ Tìm các giới hạn tại vô cực và tìm các tiệm cận (nếu có)
+ Lập bảng biến thiên tổng kết các tất cả các bước trên để hình dung ra hình dáng của đồ thị .
Bước 3: vẽ đồ thị (phải thể hiện được các cực trị, tiệm cận, giao điểm của đồ thị với các trục, . . .).
2. Bảng tóm tắt của một số dạng đồ thị thường gặp
3.Chứng minh điểm có tọa độ ($x_0,y_0$) là tâm đối xứng của đồ thị (C) của hàm số y=f(x)
– Đồ thị hàm số lẻ luôn nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.
Vậy để chứng minh điểm I($x_0,y_0$) là tâm đối xứng, ta dùng công thức đổi trục $\begin{cases}x=x_0+X\\y=y_0+Y\end{cases}$ để đưa hệ trục tọa độ Oxy về hệ trục IXY (có gốc tọa độ I) và chứng minh rằng trong hệ trục IXY hàm số đã cho có dạng Y=g(X) là hàm số lẻ.
(Chú ý: M(x,y) ∈ (C) <=> y=f(x) <=> Y+$y_0$ = f(X+$x_0$) <=> Y=g(X)
4. Chứng minh đường thẳng Δ: $x=x_0$ là trục đối xứng của đồ thị (C) của hàm số y=f(x)
Đồ thị của hàm số chẵn luôn nhận trục tung là trục đối xứng. Vậy để chứng minh đường thẳng Δ: x=$x_0$ là trục đối xứng, ta dùng công thức đổi trục $\begin{cases}x=x_0+X\\y=Y\end{cases}$ để đưa hệ số Oxy về hệ trục IXY ( là trục tung) và chứng minh: trong hệ trục IXY, hàm số đã cho có dạng Y=g(X) là hàm số chẵn.
5. Tương giao của các đồ thị
Cho hai đồ thị $C_1$: $y=f(x)$ và $C_2$: $y=g(x)$
Phương trình xác định hoành độ giao điểm của $C_1$ và $C_2$ là: $f(x)=g(x)$. kí hiệu là phương trình (1)
– Nếu (1) vô nghiệm thì $C_1$ và $C_2$ không có điểm chung (không cắt nhau và không tiếp xúc với nhau).
– Nếu (1) có nghiệm phân biệt thì $C_1$ và $C_2$ giao nhau tại các điểm phân biệt đó. Và nghiệm của phương trình (1) chính là hoành độ các giao điểm.
*Chú ý:
a) $C_1$ tiếp xúc với $C_2$ <=> hệ $\begin{cases}f(x)=g(x)+X\\f'(x)=g'(x)\end{cases}$ có nghiệm. Nghiệm của hệ phương trình là hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị.
b) Đường thẳng (d): y=mx+n tiếp xúc với parabol y=a$x^2+bx+c$ hệ
$\begin{cases}ax^2+bx+c=mx+n\\2ax+b=m\end{cases}$ có nghiệm
⇔ phương trình $ax^2+bx+c=mx+n$ có nghiệm kép.