1. Cho các điểm $ M\left( {-4;1} \right),N\left( {2;4} \right),P\left( {2;-2} \right)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB của tam giác ABC.
a) Tìm tọa độ các điểm A, B, C.
b) Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.
2. Cho ba vectơ $ \overrightarrow{a}=\left( {-2;1} \right),\overrightarrow{b}=\left( {1;3} \right),\overrightarrow{c}=\left( {-3;3} \right).$
a) Tìm tọa độ của các vectơ $ \overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b},$ $ \overrightarrow{v}=3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{c}.$
b) Phân tích vectơ $ \overrightarrow{c}$ theo hai vectơ $ \overrightarrow{a}$ và $ \overrightarrow{b};$ phân tích vectơ $ \overrightarrow{a}$ theo hai vectơ $ \overrightarrow{b}$ và $ \overrightarrow{c}.$
c) Tìm tọa độ vectơ $ \overrightarrow{x}$ sao cho $ \overrightarrow{x}-2\overrightarrow{a}=3\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}.$
3. Cho ba vectơ $ \overrightarrow{a}=\left( {3;-4} \right),\overrightarrow{b}=\left( {2;5} \right),\overrightarrow{c}=\left( {m;10} \right).$
a) Tìm tọa độ của vectơ $ \overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}.$
b) Tìm m để hai vectơ $ \overrightarrow{b}$ và $ \overrightarrow{c}$ cùng phương.
4. Xét xem ba điểm sau có thẳng hàng không?
a) $ A\left( {2;-3} \right),B\left( {5;1} \right)$ và $ C\left( {8;5} \right).$ b) $ M\left( {1;2} \right),N\left( {3;6} \right)$ và $ P\left( {4;5} \right).$
5. Cho ba điểm $ A\left( {1;-2} \right),B\left( {3;2} \right)$ và $ C\left( {-4;1} \right).$
a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ trung điểm I của BC.
c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
d) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
e) Tìm tọa độ điểm M sao cho $ \displaystyle \overrightarrow{{MA}}+2\overrightarrow{{MB}}-\overrightarrow{{MC}}=\overrightarrow{0}.$
f) Tìm điểm E trên trục Ox sao cho ba điểm A, B, E thẳng hàng.
6. Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm $ A\left( {1;2} \right),B\left( {-2;4} \right)$ và $ C\left( {2;m} \right).$ Tìm m để A, B, C thẳng hàng.
7. Cho tam giác ABC. Gọi D là điểm xác định bởi $ \overrightarrow{{AD}}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{{AC}};$ I là trung điểm của BD; M là điểm thỏa $ \overrightarrow{{BM}}=x\overrightarrow{{BC}},\left( {x\in \mathbb{R}} \right).$
a) Phân tích $ \overrightarrow{{AI}}$ theo hai vectơ $ \overrightarrow{{AB}}$ và $ \overrightarrow{{AC}}.$
b) Phân tích $ \overrightarrow{{AM}}$ theo x và hai vectơ $ \overrightarrow{{AB}}$ và $ \overrightarrow{{AC}}.$
c) Tìm x sao cho A, I, M thẳng hàng.
8. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi O là giao điểm của hai cạnh bên AD và BC, I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD.
a) Phân tích $ \overrightarrow{{OI}}$ theo hai vectơ $ \overrightarrow{{OB}}$ và $ \overrightarrow{{OB}}.$
b) Đặt $ k=\dfrac{{OD}}{{OA}}.$ Phân tích $ \overrightarrow{{OJ}}$ theo k và hai vectơ $ \overrightarrow{{OA}}$ và $ \overrightarrow{{OB}}.$ Suy ra O, I, J thẳng hàng.
9. Cho tam giác ABC.
a) Xác định điểm I sao cho $ \overrightarrow{{IA}}+3\overrightarrow{{IB}}-2\overrightarrow{{IC}}=\overrightarrow{0}.$
b) Lấy điểm M di động. Dựng điểm N sao cho $ \overrightarrow{{MN}}=\overrightarrow{{MA}}+3\overrightarrow{{MB}}-2\overrightarrow{{MC}}.$ Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định.
10. Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC. Là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (P). Chứng minh rằng vectơ $ \overrightarrow{u}=3\overrightarrow{{MA}}-5\overrightarrow{{MB}}+2\overrightarrow{{MC}}$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
*Download file Bài tập hệ tọa độ vectơ – Hình học 10.docx bằng cách click vào nút Tải về dưới đây.