20 bài phân tích đa thức thành nhân tử cơ bản và nâng cao có hướng dẫn giải

PHẦN I: CƠ BẢN (10 Bài)

Mục tiêu: Rèn luyện các phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức và nhóm hạng tử cơ bản.

1. 5x – 20y
2. x² + 4x
3. x(x – y) + 3(x – y)
4. x² – 16
5. x² – 10x + 25
6. 8x³ – 27
7. x³ – 4x
8. x² – xy + 2x – 2y
9. x² – 2xy + y² – 9
10. 3x² – 6x + 3

PHẦN II: NÂNG CAO (10 Bài)

Mục tiêu: Rèn luyện phương pháp tách hạng tử, thêm bớt hạng tử, đặt ẩn phụ và phối hợp nhiều phương pháp.

11. x² – 7x + 12
12. 2x² + 5x – 3
13. x⁴ + 4
14. (x² + x)² + 4(x² + x) – 12
15. x⁵ + x + 1
16. x⁴ – 5x² + 4
17. (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24
18. x³ – 19x – 30
19. a²(b – c) + b²(c – a) + c²(a – b)
20. (a + b + c)³ – a³ – b³ – c³

__________________________________________________

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Bài 1:5x – 20y
Đặt 5 làm nhân tử chung:
= 5(x – 4y)

Bài 2:x² + 4x
Đặt x làm nhân tử chung:
= x(x + 4)

Bài 3:x(x – y) + 3(x – y)
Đặt đa thức (x – y) làm nhân tử chung:
= (x – y)(x + 3)

Bài 4:x² – 16
Dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương:
= x² – 4² = (x – 4)(x + 4)

Bài 5:x² – 10x + 25
Dùng hằng đẳng thức bình phương một hiệu:
= x² – 2 · x · 5 + 5² = (x – 5)²

Bài 6:8x³ – 27
Dùng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương:
= (2x)³ – 3³= (2x – 3)[(2x)² + 2x · 3 + 3²]= (2x – 3)(4x² + 6x + 9)

Bài 7:x³ – 4x
Đặt nhân tử chung x, sau đó dùng hằng đẳng thức:
= x(x² – 4) = x(x – 2)(x + 2)

Bài 8:x² – xy + 2x – 2y
Nhóm hạng tử:
= (x² – xy) + (2x – 2y)= x(x – y) + 2(x – y)= (x – y)(x + 2)

Bài 9:x² – 2xy + y² – 9
Nhóm 3 hạng tử đầu tạo hằng đẳng thức, sau đó dùng hiệu hai bình phương:
= (x² – 2xy + y²) – 9= (x – y)² – 3²= (x – y – 3)(x – y + 3)

Bài 10:3x² – 6x + 3
Đặt 3 ra ngoài, bên trong là hằng đẳng thức:
= 3(x² – 2x + 1) = 3(x – 1)²

Bài 11:x² – 7x + 12
Tách hạng tử giữa: -7x = -3x – 4x= x² – 3x – 4x + 12= x(x – 3) – 4(x – 3)= (x – 3)(x – 4)

Bài 12:2x² + 5x – 3
Tách hạng tử giữa: 5x = 6x – x= 2x² + 6x – x – 3= 2x(x + 3) – (x + 3)= (x + 3)(2x – 1)

Bài 13:x⁴ + 4
Thêm bớt 4x² (Phương pháp Sophie Germain):
= x⁴ + 4x² + 4 – 4x²= (x² + 2)² – (2x)²= (x² – 2x + 2)(x² + 2x + 2)

Bài 14:(x² + x)² + 4(x² + x) – 12
Đặt t = x² + x, đa thức trở thành: t² + 4t – 12 = (t – 2)(t + 6)
Thay lại t:
= (x² + x – 2)(x² + x + 6)= (x – 1)(x + 2)(x² + x + 6)

Bài 15:x⁵ + x + 1
Thêm bớt x²:
= x⁵ – x² + x² + x + 1= x²(x³ – 1) + (x² + x + 1)= x²(x – 1)(x² + x + 1) + (x² + x + 1)= (x² + x + 1)(x³ – x² + 1)

Bài 16:x⁴ – 5x² + 4
Đặt t = x² ⇒ t² – 5t + 4 = (t – 1)(t – 4)
Thay lại t:
= (x² – 1)(x² – 4) = (x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2)

Bài 17:(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24
Nhóm (x+1)(x+4)và(x+2)(x+3):
= (x² + 5x + 4)(x² + 5x + 6) – 24
Đặt t = x² + 5x + 5 ⇒ (t-1)(t+1) – 24 = t² – 25 = (t-5)(t+5)
Thay lại t:
= (x² + 5x)(x² + 5x + 10) = x(x + 5)(x² + 5x + 10)

Bài 18:x³ – 19x – 30
Nhẩm nghiệm x = -2, tách hạng tử:
= x³ + 2x² – 2x² – 4x – 15x – 30= x²(x + 2) – 2x(x + 2) – 15(x + 2)= (x + 2)(x² – 2x – 15)= (x + 2)(x – 5)(x + 3)

Bài 19:a²(b – c) + b²(c – a) + c²(a – b)
Thay c – a = -(a – b) – (b – c), khai triển và nhóm nhân tử chung:
= (a – b)(b – c)(c – a)

Bài 20:(a + b + c)³ – a³ – b³ – c³
Nhóm và dùng hằng đẳng thức lập phương:
= [(a + b) + c]³ – a³ – b³ – c³= 3(a + b)(b + c)(c + a)