Bồi dưỡng HSG Toán 8 – Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Bồi dưỡng kiến thức cho học sinh lớp 8 áp dụng những hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải các dạng bài: rút gọn biểu thức, tính giá trị biểu thức, so sánh, tìm giá trị, chứng minh đẳng thức.

5 kỹ thuật thường gặp trong bài HSG về hằng đẳng thức

1. Nhận dạng bình phương: x² + 2xy + y² = (x + y)².
2. Dùng hiệu hai bình phương: A² − B² = (A − B)(A + B).
3. Thêm bớt hợp lý: biến biểu thức thành một bình phương hoặc một tích quen thuộc.
4. Nhóm hạng tử: ghép các phần có chung cấu trúc để xuất hiện nhân tử.
5. Biến đổi hai chiều: vừa khai triển được hằng đẳng thức, vừa nhận ra biểu thức đã khai triển để thu gọn.

Ví dụ nhận dạng nhanh

x² + 6x + 9 = x² + 2·x·3 + 3² = (x + 3)².

4a² − 25b² = (2a)² − (5b)² = (2a − 5b)(2a + 5b).

Trong bài nâng cao, mục tiêu không phải khai triển thật nhiều mà là chọn chiều biến đổi làm biểu thức đơn giản hơn hoặc tạo được nhân tử có ích.

A. LÝ THUYẾT

Các hằng đẳng thức đáng nhớ

1) $ left( {a+b} right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

2) $ left( {a-b} right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

3) $ a^{2}-b^{2}=left( {a-b} right)left( {a+b} right)$

4) $ left( {a+b} right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=a^{3}+b^{3}+3ableft( {a+b} right)$

5) $ left( {a-b} right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=a^{3}-b^{3}-3ableft( {a-b} right)$

6) $ a^{3}+b^{3}=left( {a+b} right)left( {a^{2}-ab+b^{2}} right)$

7) $ a^{3}-b^{3}=left( {a-b} right)left( {a^{2}+ab+b^{2}} right)$

8) $ left( {a+b+c} right)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$

9) $ displaystyle left( {a_{1}+a_{2}+…+a_{n}} right)^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+..+a_{n}^{2}+2a_{1}a_{2} +2a_{1}a_{3}+…+2a_{1}a_{n}+2a_{2}a_{3}+…+2a_{2}a_{n}+…+2a_{{n-1}}a_{n}$

10) $ a^{n}-b^{n}=left( {a-b} right)left( {a^{{n-1}}+a^{{n-2}}b+a^{{n-3}}b^{2}+…+a^{2}b^{{n-3}}+ab^{{n-2}}+b^{{n-1}}} right)$ với $ nin N^{*}$

11) $ a^{{2k}}-b^{{2k}}=left( {a+b} right)left( {a^{{2k-1}}-a^{{2k-2}}b+a^{{2k-3}}b^{2}-…-a^{2}b^{{2k-3}}+ab^{{2k-2}}-b^{{2k-1}}} right)$

12) $ a^{n}+b^{n}=left( {a+b} right)left( {a^{{n-1}}-a^{{n-2}}b+a^{{n-3}}b^{2}-…+a^{2}b^{{n-3}}-ab^{{n-2}}+b^{{n-1}}} right)$ với n lẻ

B. BÀI TẬP