A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Góc và cung lượng giác
* Cung tròn có số đo bằng $ \dfrac{1}{{360}}$ số đo của đường tròn gọi là 1 độ và kí hiệu : 10. Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 radian, gọi tắt là cung 1 radian.
* Góc lượng giác là góc được gắn với đường tròn lượng giác có nghĩa là có chiều dương, chiều âm và độ lớn tùy ý. Hai góc lương giác có chung tia đầu và tia cuối có dạng $ \alpha $ và $ \alpha +k2\pi $.
* Cho đường tròn lượng giác gốc A, góc $ \alpha $ có tia cuối là OM. Khi đó tung độ của M gọi là sin$ \alpha $, hòanh độ của M gọi là $ \cos \alpha $, tỉ số $ \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$ gọi là tang$ \alpha $, kí hiệu: $ \tan \alpha $, tỉ số $ \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$ gọi là côtang$ \alpha $, kí hiệu : cot$ \alpha $
Ta có : $ -1\le \sin \alpha ,\cos \alpha \le 1$ ; $ \cos (\alpha +k2\pi )=\cos \alpha ;\ \sin (\alpha +k2\pi )=\sin \alpha $
$ \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1\ ;\ \tan \alpha .\cot \alpha =1\ ;\ 1+\tan ^{2}\alpha =\dfrac{1}{{{\cos }^{2}\alpha }};\ 1+\cot ^{2}\alpha =\dfrac{1}{{{\sin }^{2}\alpha }}$
2. Giá trị lượng giác của những góc có liên quan đặc biệt
* Hai góc đối nhau thì có cosin bằng nhau còn các giá trị khác đối nhau.
* Hai góc bù nhau thì có sin bằng nhau còn các giá trị khác đối nhau.
* Hai góc hơn kém nhau $ \pi $ thì có sin và cosin đối nhau còn các giá trị khác bằng nhau.
* Hai góc phụ nhau thì có cosin góc này bằng sin góc kia, tan góc này bằng cot góc kia.
3. Công thức lương giác
* Công thức cộng
$ \cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta $
$ \sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \sin \beta \cos \alpha $
$ \tan (\alpha \pm \beta )=\dfrac{{\tan \alpha \pm \tan \beta }}{{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$
* Công thức nhân đôi
$ \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1$
$ s\grave{i}n2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha $
$ \tan 2\alpha =\dfrac{{2\tan \alpha }}{{1-{\tan }^{2}\alpha }}$
* Công thức hạ bậc
$ \cos ^{2}\alpha =\dfrac{{1+\cos 2\alpha }}{2}\quad ;\quad \sin ^{2}\alpha =\dfrac{{1-\cos 2\alpha }}{2}$
* Công thức biến đổi tổng thành tích
$ \cos \alpha \cos \beta =\dfrac{1}{2}\left[ {\cos (\alpha -\beta )+\cos (\alpha +\beta )} \right]$
$ \sin \alpha \sin \beta =\dfrac{1}{2}\left[ {\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )} \right]$
$ \sin \alpha \cos \beta =\dfrac{1}{2}\left[ {\sin (\alpha -\beta )+\sin (\alpha +\beta )} \right]$
* Công thức biến đổi tổng thành tích
$ \cos x+\cos y=2\cos \dfrac{{x+y}}{2}\cos \dfrac{{x-y}}{2}\quad ;\quad \cos x-\cos y=-2\sin \dfrac{{x+y}}{2}\sin \dfrac{{x-y}}{2}$
$ \sin x+\sin y=2\sin \dfrac{{x+y}}{2}\cos \dfrac{{x-y}}{2}\quad ;\quad \sin x-\sin y=2\cos \dfrac{{x+y}}{2}\sin \dfrac{{x-y}}{2}$
B. BÀI TẬP
Bài 1:
a) Cho sinα = $ \dfrac{3}{5}$; và $ \dfrac{\pi }{2}<\alpha <\pi $.Cho Tính cosα, tanα, cotα.
b) Cho tanα = 2 và $ \pi <\alpha <\dfrac{{3\pi }}{2}$Tính sinα, cosα.
Bài 2:
a) Cho cosα = $ \displaystyle -\dfrac{{12}}{{13}}$; và $ \dfrac{\pi }{2}<\alpha <\pi $. Tính $ \sin 2\alpha ,\,\,\cos 2\alpha ,\,\,\tan 2\alpha ,\,\,\cot 2\alpha $
b) Cho cotα = 2 và $ \displaystyle 0<\alpha <\dfrac{\pi }{4}$ . Tính $ \sin 2\alpha ,\,\,\cos 2\alpha ,\,\,\tan 2\alpha ,\,\,\cot 2\alpha $.
c) Cho $ \sin \alpha -\cos \alpha =\dfrac{1}{5}$ . Tính $ \sin 2\alpha ,\,\,\cos 2\alpha $.
Bài 3:
a) Cho sinα = $ \displaystyle -\dfrac{5}{9}$; và $ \dfrac{\pi }{2}<\alpha <\pi $. Tính $ \sin \dfrac{\alpha }{2},\,\,\cos \dfrac{\alpha }{2},\,\,\tan \dfrac{\alpha }{2},\,\,\cot \dfrac{\alpha }{2}$.
b) Cho cos α =$ \displaystyle \dfrac{5}{{13}}$ và $ \displaystyle \dfrac{{3\pi }}{2}<\alpha <2\pi $. Tính $ \sin \dfrac{\alpha }{2},\,\,\cos \dfrac{\alpha }{2},\,\,\tan \dfrac{\alpha }{2},\,\,\cot \dfrac{\alpha }{2}$.
Bài 4: Không sử dụng máy tính hãy tính
$ \displaystyle \begin{array}{l}a)\sin 75^{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b)\tan 105^{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c)\cos (-15^{0})\\\,d)\sin \dfrac{\pi }{{12}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,e)c\text{os}\dfrac{{22\pi }}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f)\sin \dfrac{{23\pi }}{4}\end{array}$
Bài 5: Rút gọn các biểu thức:
$ \begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}} {a)A=\dfrac{{c\text{os2a-cos4a}}}{{\sin 4a+\sin 2a}}} & {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b)B=\dfrac{{2\sin 2a-\sin 4a}}{{2\sin 2a+\sin 4a}}} \end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}} {c)C=\dfrac{{\sin \left( {\dfrac{\pi }{4}-a} \right)+c\text{os}\left( {\dfrac{\pi }{4}-a} \right)}}{{\sin \left( {\dfrac{\pi }{4}-a} \right)-c\text{os}\left( {\dfrac{\pi }{4}-a} \right)}}} & {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,d)} \end{array}D=\dfrac{{\sin a-\sin 3a}}{{2c\text{os}4a}}\end{array}$
Bài 6: Chứng minh rằng:
$ a)\,\,\left( {1+\tan \alpha } \right)\sin ^{3}\alpha +\left( {1+\tan \alpha } \right)\cos ^{3}\alpha =\sin \alpha +\cos \alpha $
$ b)\,\,\dfrac{{{\sin }^{2}\alpha +2{\cos }^{2}\alpha -1}}{{{\cot }^{2}\alpha }}=\sin ^{2}\alpha $
$ c)\,\,\dfrac{{{\sin }^{2}\alpha -{\tan }^{2}\alpha }}{{{\cos }^{2}\alpha -{\cot }^{2}\alpha }}=\tan ^{6}\alpha $
$ d)\left( {\cot \alpha +\tan \alpha } \right)^{2}-\left( {\cot \alpha -\tan \alpha } \right)^{2}=4$
$ e)\,\,\cos 4\alpha -\sin 4\alpha =1-2\sin 2\alpha $
$ f)\dfrac{{{\sin }^{2}\alpha -{\cos }^{2}\alpha }}{{1+2\sin \alpha \cos \alpha }}=\dfrac{{\tan \alpha -1}}{{\tan \alpha +1}}$
$ g)\dfrac{{{\sin }^{3}\alpha +{\cos }^{3}\alpha }}{{\sin \alpha +\cos \alpha }}=1-\sin \alpha \cos \alpha $
$ h)\,\,\dfrac{{4{\sin }^{2}\alpha }}{{1-{\cos }^{2}\dfrac{\alpha }{2}}}=16\cos ^{2}\dfrac{\alpha }{2}$
$ k)\,\,\dfrac{{1+\cos \alpha -\sin \alpha }}{{1-\cos \alpha -\sin \alpha }}=-\cot \dfrac{\alpha }{2}$
$ l)\dfrac{{\sin 2\alpha +\sin \alpha }}{{1+\cos 2\alpha +\cos \alpha }}=\tan \alpha $
Bài 7: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
$ a)\sin \left( {A+B} \right)=\sin C$
$ b)\,\,\sin \left( {\dfrac{{A+B}}{2}} \right)=\cos \dfrac{C}{2}$
Bài 8: Tính giá trị của các biểu thức sau:
$ a)\,\,P=\dfrac{{\sqrt{3}\tan {30}^{0}-\cos {60}^{0}\cot {30}^{0}-2\sqrt{2}\sin {45}^{0}}}{{\sqrt{6}\sin {90}^{0}.\cos {45}^{0}\sin {60}^{0}}}$
$ b)\,\,Q=\dfrac{{2\tan \dfrac{\pi }{6}-\sin \dfrac{\pi }{4}\cos \dfrac{\pi }{6}+3\cot \dfrac{\pi }{4}}}{{2\sin \dfrac{{3\pi }}{4}+6\cos \dfrac{{2\pi }}{3}-5\tan \dfrac{{5\pi }}{6}}}$
$ c)\,R=\sqrt{3}\cot \dfrac{\pi }{2}-\dfrac{{\sqrt{6}}}{3}\sin \dfrac{{2\pi }}{3}\cos \dfrac{\pi }{6}$
Bài 9: Chứng minh rằng:
$ a)\,\,\cos \alpha \cos \left( {\dfrac{\pi }{3}-\alpha } \right)\cos \left( {\dfrac{\pi }{3}+x} \right)=\dfrac{1}{4}\cos 3\alpha $
$ b)\,\,Sin5\alpha -2\sin \alpha \left( {\cos 4\alpha +\cos 2\alpha } \right)=\sin \alpha $
$ c)\,\,\dfrac{{\sin {20}^{0}\sin {30}^{0}\sin {40}^{0}\sin {50}^{0}\sin {60}^{0}\sin {70}^{0}}}{{\cos {10}^{0}\cos {50}^{0}}}=\dfrac{{\sqrt{{13}}}}{6}$
$ d)\,\dfrac{{\sin \alpha +\sin 3\alpha +\sin 5\alpha }}{{\cos \alpha +\cos 3\alpha +\cos 5\alpha }}=\tan 3\alpha $
$ e)\,\,\dfrac{{3-4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }}{{3+4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }}=\tan ^{4}\alpha $
Bài 10: Chứng minh các đồng nhất thức
$ \displaystyle a)\dfrac{{1-\cos x+c\text{os}2x}}{{\sin 2x-\operatorname{s}\text{inx}}}=\operatorname{c}\text{otx}\,\,\,$
$ \displaystyle b)\dfrac{{\operatorname{s}\text{inx}+\sin \dfrac{x}{2}}}{{1+\cos x+c\text{ox}\dfrac{x}{2}}}=\tan \dfrac{x}{2}$
$ \displaystyle c)\dfrac{{2c\text{os}2x-\sin 4x}}{{2c\text{os}2x+\sin 4x}}=\tan ^{2}\left( {\dfrac{\pi }{4}-x} \right)\,\,$
$ \displaystyle d)\operatorname{t}\text{anx}-\tan y=\dfrac{{\sin (x-y)}}{{\cos x.\cos y}}$
Bài 11: Chứng minh đẳng thức lượng giác sau:
a) $ \displaystyle \text{si}\text{n}^{\text{3}}\text{x + co}\text{s}^{\text{3}}\text{x = (sinx + cosx)(1 – sinx}\text{.cosx) }$
b) $ \displaystyle \text{si}\text{n}^{\text{3}}\text{x – co}\text{s}^{\text{3}}\text{x = (sinx – cosx)(1 + sinx}\text{.cosx) }$
c) $ \displaystyle \text{co}\text{s}^{\text{4}}\text{x + si}\text{n}^{\text{4}}\text{x = 1 – 2 si}\text{n}^{\text{2}}\text{x}\text{.co}\text{s}^{\text{2}}\text{x}$
d) $ \displaystyle \text{(1 – sinx)(1 + sinx) = si}\text{n}^{\text{2}}\text{x}\text{.co}\text{t}^{\text{2}}\text{x}$
e) $ \displaystyle \dfrac{{\sin x.cotx}}{{cosx}}=1$
f) $ \displaystyle sin^{2}x+\tan ^{2}x=\dfrac{1}{{cos^{2}x}}-cos^{2}x$
*Download file Lý thuyết và bài tập lượng giác lớp 10 về để in ra học bằng cách click vào nút Tải về dưới đây.