PHẦN I: CƠ BẢN (10 Bài)
Mục tiêu: Ôn tập quy tắc khai phương, trục căn thức và rút gọn biểu thức đơn giản.
Bài 1: Thực hiện phép tính:
$A = 2\sqrt{27} – 3\sqrt{12} + \sqrt{75}$
Bài 2: Rút gọn biểu thức:
$B = \sqrt{(2 – \sqrt{5})^2} + \sqrt{5}$
Bài 3: Trục căn thức ở mẫu:
$C = \dfrac{6}{\sqrt{7} – 1} + \dfrac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$
Bài 4: Rút gọn biểu thức với $x \ge 0$:
$D = 3\sqrt{x} + 5\sqrt{4x} – \sqrt{25x}$
Bài 5: Tính giá trị biểu thức:
$E = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} – \sqrt{3}$
Bài 6: Rút gọn biểu thức ($x \ge 0, x \ne 4$):
$F = \dfrac{x – 4}{\sqrt{x} + 2} – 3\sqrt{x}$
Bài 7: Giải phương trình:
$\sqrt{4x – 12} + \dfrac{1}{3}\sqrt{9x – 27} = 10$
Bài 8: Rút gọn biểu thức ($a > 0, b > 0$):
$G = \left( \sqrt{a} – \dfrac{1}{\sqrt{a}} \right) \left( \dfrac{a\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} + \sqrt{a} \right)$
Bài 9: Rút gọn:
$H = \dfrac{1}{3 – \sqrt{7}} – \dfrac{1}{3 + \sqrt{7}}$
Bài 10: Cho biểu thức ($x > 0, x \ne 1$):
$K = \left( \dfrac{1}{\sqrt{x}-1} + \dfrac{1}{\sqrt{x}+1} \right) \cdot \dfrac{x-1}{\sqrt{x}}$
PHẦN II: NÂNG CAO & TỔNG HỢP (10 Bài)
Mục tiêu: Các bài toán dạng thi vào lớp 10 (Rút gọn kết hợp tìm x, tìm Min/Max, tìm x nguyên).
Bài 11:
Cho biểu thức: $P = \left( \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} – 1} – \dfrac{1}{x – \sqrt{x}} \right) : \left( \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{2}{x – 1} \right)$
a) Rút gọn P ($x > 0, x \ne 1$).
b) Tính giá trị của P khi $x = 3 – 2\sqrt{2}$.
Bài 12:
Cho biểu thức: $Q = \dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1} – \dfrac{2\sqrt{x} – 2}{\sqrt{x} – 1}$ ($x \ge 0, x \ne 1$).
Tìm giá trị của x để $Q = -3$.
Bài 13:
Rút gọn biểu thức chứa căn lồng nhau:
$M = \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} – \sqrt{6 – 2\sqrt{5}}$
Bài 14:
Cho biểu thức: $A = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} – 3}$ ($x \ge 0, x \ne 9$).
Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
Bài 15:
Rút gọn và tìm giá trị nhỏ nhất (Min) của:
$B = x – 4\sqrt{x} + 10$(với$x \ge 0$).
Bài 16:
Cho biểu thức: $C = \left( \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} – 1} – \dfrac{\sqrt{a}}{a – \sqrt{a}} \right) : \dfrac{\sqrt{a} + 1}{a – 1}$
a) Rút gọn C ($a > 0, a \ne 1$).
b) Tìm a để $C < 1$.
Bài 17:
Giải phương trình vô tỉ:
$\sqrt{x^2 – 6x + 9} = 2x – 1$
Bài 18:
Cho $P = \dfrac{x + 2}{x\sqrt{x} – 1} + \dfrac{\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} + 1} – \dfrac{1}{\sqrt{x} – 1}$ ($x \ge 0, x \ne 1$).
Rút gọn P và chứng minh $P < \dfrac{1}{3}$.
Bài 19:
Tính giá trị biểu thức sau biết $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$và$x, y, z > 0$:
$N = \left(1 + \dfrac{x}{y}\right)\left(1 + \dfrac{y}{z}\right)\left(1 + \dfrac{z}{x}\right)$
Bài 20:
Cho $x = \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 – \sqrt{5}}$. Tính giá trị của biểu thức:
$E = x^3 + 3x – 2$
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Bài 1:
$A = 2\sqrt{9 \cdot 3} – 3\sqrt{4 \cdot 3} + \sqrt{25 \cdot 3}$
$A = 2 \cdot 3\sqrt{3} – 3 \cdot 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3}$
$A = 6\sqrt{3} – 6\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$
Bài 2:
$B = |2 – \sqrt{5}| + \sqrt{5}$
Vì $2 = \sqrt{4} < \sqrt{5} \Rightarrow 2 – \sqrt{5} < 0$, nên:
$B = -(2 – \sqrt{5}) + \sqrt{5} = -2 + \sqrt{5} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5} – 2$
Bài 3:
$C = \dfrac{6(\sqrt{7} + 1)}{7 – 1} + \dfrac{4(\sqrt{7} – \sqrt{3})}{7 – 3}$
$C = \dfrac{6(\sqrt{7} + 1)}{6} + \dfrac{4(\sqrt{7} – \sqrt{3})}{4}$
$C = \sqrt{7} + 1 + \sqrt{7} – \sqrt{3} = 2\sqrt{7} + 1 – \sqrt{3}$
Bài 4:
$D = 3\sqrt{x} + 5 \cdot 2\sqrt{x} – 5\sqrt{x}$
$D = 3\sqrt{x} + 10\sqrt{x} – 5\sqrt{x} = 8\sqrt{x}$
Bài 5:
$E = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1^2} – \sqrt{3}$
$E = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} – \sqrt{3}$
$E = \sqrt{3} + 1 – \sqrt{3} = 1$
Bài 6:
$F = \dfrac{(\sqrt{x} – 2)(\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} + 2} – 3\sqrt{x}$
$F = \sqrt{x} – 2 – 3\sqrt{x} = -2\sqrt{x} – 2$
Bài 7:
$\sqrt{4(x-3)} + \dfrac{1}{3}\sqrt{9(x-3)} = 10$
$2\sqrt{x-3} + \dfrac{1}{3} \cdot 3\sqrt{x-3} = 10$
$2\sqrt{x-3} + \sqrt{x-3} = 10$
$3\sqrt{x-3} = 10 \Leftrightarrow \sqrt{x-3} = \dfrac{10}{3}$
$x – 3 = \dfrac{100}{9} \Leftrightarrow x = \dfrac{127}{9}$
Bài 8:
$G = \dfrac{a – 1}{\sqrt{a}} \cdot \left( \dfrac{a\sqrt{a} + \sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a} + 1} \right)$
$G = \dfrac{a – 1}{\sqrt{a}} \cdot \dfrac{\sqrt{a}(a + \sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a} + 1}$ (Bài này có thể đề bài gốc cần chỉnh lại để ra số đẹp hơn, tuy nhiên ta rút gọn theo đề):
$G = (a-1) \dfrac{a + \sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} + 1}$
Bài 9:
Quy đồng mẫu: $Mẫu = (3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7}) = 9 – 7 = 2$
$H = \dfrac{3 + \sqrt{7} – (3 – \sqrt{7})}{2} = \dfrac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}$
Bài 10:
Trong ngoặc: $\dfrac{\sqrt{x} + 1 + \sqrt{x} – 1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} = \dfrac{2\sqrt{x}}{x-1}$
$K = \dfrac{2\sqrt{x}}{x-1} \cdot \dfrac{x-1}{\sqrt{x}} = 2$
Bài 11:
a)
Trong ngoặc 1: $\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} – \dfrac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)} = \dfrac{x-1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)} = \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$
Trong ngoặc 2: $\dfrac{\sqrt{x}-1 + 2}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)} = \dfrac{\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)} = \dfrac{1}{\sqrt{x}-1}$
$P = \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} : \dfrac{1}{\sqrt{x}-1} = \dfrac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}} = \dfrac{x-1}{\sqrt{x}}$
b) $x = 3 – 2\sqrt{2} = (\sqrt{2}-1)^2 \Rightarrow \sqrt{x} = \sqrt{2}-1$
$P = \dfrac{3 – 2\sqrt{2} – 1}{\sqrt{2} – 1} = \dfrac{2 – 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} – 1} = \dfrac{-2(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}-1} = -2$
Bài 12:
$Q = 1 + \dfrac{1}{\sqrt{x}+1} – 2 = \dfrac{1}{\sqrt{x}+1} – 1$
Để $Q = -3 \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{x}+1} – 1 = -3 \Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{x}+1} = -2$
Vô lý vì $\dfrac{1}{\sqrt{x}+1} > 0$. Vậy không có giá trị x thỏa mãn.
Bài 13:
$M = \sqrt{(\sqrt{5}+1)^2} – \sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}$
$M = |\sqrt{5}+1| – |\sqrt{5}-1|$
$M = \sqrt{5} + 1 – (\sqrt{5} – 1) = 2$
Bài 14:
$A = \dfrac{\sqrt{x} – 3 + 4}{\sqrt{x} – 3} = 1 + \dfrac{4}{\sqrt{x} – 3}$
Để A nguyên thì $\sqrt{x} – 3$là ước của 4$\in {-4; -2; -1; 1; 2; 4}$.
Lập bảng giá trị, loại các nghiệm không thỏa mãn ĐK ($x \ge 0, x \ne 9$).
Bài 15:
$B = x – 4\sqrt{x} + 4 + 6 = (\sqrt{x} – 2)^2 + 6$
Vì $(\sqrt{x} – 2)^2 \ge 0$nên$B \ge 6$.
Min B = 6 khi $\sqrt{x} = 2 \Leftrightarrow x = 4$.
Bài 16:
a)
Trong ngoặc: $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1} – \dfrac{1}{\sqrt{a}-1} = \dfrac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}-1} = 1$
Vậy $C = 1 : \dfrac{\sqrt{a}+1}{a-1} = \dfrac{a-1}{\sqrt{a}+1} = \dfrac{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}+1} = \sqrt{a}-1$
b) $C < 1 \Rightarrow \sqrt{a} – 1 < 1 \Leftrightarrow \sqrt{a} < 2 \Leftrightarrow a < 4$.
Kết hợp ĐK: $0 < a < 4$và$a \ne 1$.
Bài 17:
$\sqrt{(x-3)^2} = 2x – 1 \Leftrightarrow |x – 3| = 2x – 1$
ĐK: $2x – 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0.5$
TH1: $x – 3 = 2x – 1 \Rightarrow x = -2$ (Loại)
TH2: $3 – x = 2x – 1 \Rightarrow 3x = 4 \Rightarrow x = 4/3$ (Nhận).
Bài 18:
Quy đồng mẫu chung $(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)$:
Rút gọn ta được: $P = \dfrac{\sqrt{x}-1}{x+\sqrt{x}+1}$ (Đây là dạng bài rút gọn kinh điển).
Xét hiệu: $P – \dfrac{1}{3} = … < 0 \Rightarrow P < 1/3$.
Bài 19:
Từ hằng đẳng thức Euler: Nếu $x^3+y^3+z^3 = 3xyz$thì$x+y+z=0$hoặc$x=y=z$.
Vì $x,y,z > 0$nên chỉ xảy ra$x=y=z$.
Thay vào N: $N = (1+1)(1+1)(1+1) = 8$.
Bài 20:
Lập phương 2 vế của x:
$x^3 = 2+\sqrt{5} + 2-\sqrt{5} + 3\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})} \cdot x$
$x^3 = 4 + 3\sqrt[3]{4-5} \cdot x$
$x^3 = 4 – 3x \Rightarrow x^3 + 3x = 4$
Thay vào E: $E = 4 – 2 = 2$.
