KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Ước chung lớn nhất của một nhóm số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.
2. Muốn tìm ƯCLN của một nhóm số lớn hơn 1, ta thực hiện:
– Phân tích mỗi số ra số nguyên tố.
– Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
– Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó.
– Tích đó là ƯCLN phải tìm.
3. Chú ý:
– $a$ và $b$ nguyên tố cùng nhau $\Leftrightarrow(a, b)=1$
– $a ; b ; c$ nguyên tố cùng nhau đôi một $\Leftrightarrow(a ; b)=(b ; c)=(c ; a)=1$
– Nếu $a \vdots b$ thì $(a ; b)=b$
– Tập hợp các ước chung của $a$ và $b$ chính là tập hợp các ước của ƯCLN$(a, b)$
– Để tìm ước chung của các số đã cho, ta có thể tìm các ước của ƯCLN của cac số đó.
BÀI TẬP VÍ DỤ
Ví dụ 1:
a) Tìm ước chung lớn nhất của: 85; 161; và 333; 630; 1155 và 5985.
b) Nếu $a \vdots b$ thì ƯCLN$(a, b)$ bằng bao nhiêu? Cho ví dụ.
Bài giải:
a) * Ta có: $85=5.17 ; \quad 161=7.23$ và $333=3^{2} \cdot 37$
Vậy ƯCLN $(85 ; 161 ; 333)=1$
* Ta có: $630=2.3^{2} .5 .7 \quad ; \quad 1155=3.5 .7 .11 \quad ; \quad 5985=3^{2} .5 .7 .19$
Vậy $a \vdots b$ thì ƯCLN $(a ; b)=b$
Ví dụ: Ta có $8 \vdots 4$ nên ƯCLN$(8 ; 4)=4$
Ví dụ 2: Một lớp học có 28 nam và 24 nữ. Có bao nhiêu cách chia tổ cho số nam và nữ chia đều cho mỗi tổ? Cách chia nào để có số học sinh ít nhất?
Bài giải:
Vì số nam và nữ chia đều cho các tổ nên số tổ định chia phải là ước chung (khác 1) của 28 và 24.
Phân tích 28 và 24 ra thừa số nguyên tố, ta được $28=2^{2} \cdot 7 ; \quad 24=2^{3} \cdot 3$
Do đó ƯCLN$(28 ; 24)=2^{2}=4$
Suy ra ƯC$(28 ; 24)=\{1 ; 2 ; 4\}$
Vậy, có 2 cách chia tổ: chia thành 2 tổ hoặc chia thành 4 tổ.
Nếu chia thành 4 tổ thì số học sinh trong mỗi tổ là ít nhất và có 13 học sinh.