Điều kiện xác định của biểu thức chứa căn là phần kiến thức quan trọng của Toán 9. Muốn tìm đúng điều kiện, học sinh cần phân biệt căn bậc hai, căn ở mẫu và căn bậc ba.
1. Các quy tắc cần nhớ
- Biểu thức \(\sqrt{A}\) có nghĩa khi và chỉ khi \(A\ge 0\).
- Biểu thức \(\dfrac{1}{\sqrt{A}}\) có nghĩa khi và chỉ khi \(A>0\).
- Biểu thức \(\sqrt{\dfrac{A}{B}}\) có nghĩa khi \(B\ne0\) và \(\dfrac{A}{B}\ge0\).
- Căn bậc ba \(\sqrt[3]{A}\) xác định với mọi giá trị thực của \(A\). Nếu bên trong căn bậc ba có phân thức thì chỉ cần mẫu khác 0.
2. Ví dụ cơ bản
Ví dụ 1
Tìm điều kiện để \(\sqrt{-7x}\) có nghĩa.
Ta cần:
\(-7x\ge0\Rightarrow x\le0\).
Vậy điều kiện là \(x\le0\).
Ví dụ 2
Tìm điều kiện để \(\sqrt{2x+6}\) có nghĩa.
Ta có:
\(2x+6\ge0\Rightarrow x\ge-3\).
Vậy điều kiện là \(x\ge-3\).
Ví dụ 3: căn của một phân thức
Tìm điều kiện để \(\sqrt{\dfrac{1}{-4x+2}}\) có nghĩa.
Vì tử số bằng 1 và luôn dương, phân thức không âm khi mẫu số dương:
\(-4x+2>0\Rightarrow x<\dfrac{1}{2}\).
Vậy điều kiện là \(x<\dfrac{1}{2}\).
3. Biểu thức tích nằm dưới dấu căn
Ví dụ 4
Tìm điều kiện để \(\sqrt{(x+2)(x-3)}\) có nghĩa.
Ta cần:
\((x+2)(x-3)\ge0\).
Hai mốc là \(-2\) và \(3\). Xét dấu tích, ta được:
\(x\le-2\) hoặc \(x\ge3\).
4. Căn của nghịch đảo một biểu thức
Ví dụ 5
Tìm điều kiện để \(\sqrt{\dfrac{1}{x^4-16}}\) có nghĩa.
Do tử số bằng 1 nên mẫu phải dương, không chỉ khác 0:
\(x^4-16>0\).
Ta có:
\(x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)\).
Vì \(x^2+4>0\) với mọi \(x\), nên điều kiện tương đương:
\(x^2-4>0\Rightarrow x<-2\) hoặc \(x>2\).
Lưu ý: \(x=\pm2\) bị loại vì khi đó mẫu bằng 0.
5. Căn bậc ba chứa phân thức
Ví dụ 6
Tìm điều kiện để \(\sqrt[3]{\dfrac{x-2}{x+5}}\) xác định.
Căn bậc ba nhận mọi giá trị thực của biểu thức bên trong. Ta chỉ cần:
\(x+5\ne0\Rightarrow x\ne-5\).
Vậy điều kiện xác định là \(x\ne-5\).
6. Cách làm nhanh
- Xác định loại căn: căn bậc hai hay căn bậc ba.
- Nếu là căn bậc hai, đặt biểu thức dưới căn \(\ge0\).
- Nếu căn hoặc phân thức nằm ở mẫu, đồng thời loại các giá trị làm mẫu bằng 0.
- Giải bất phương trình hoặc hệ điều kiện rồi ghi kết luận cuối cùng.
7. Lỗi thường gặp
- Dùng điều kiện \(A\ge0\) cho \(\dfrac{1}{\sqrt A}\); đúng phải là \(A>0\).
- Cho phép mẫu của phân thức bằng 0.
- Với \(\sqrt{\dfrac{1}{A}}\), viết \(A\ge0\); thực tế phải có \(A>0\).
- Áp điều kiện không âm cho căn bậc ba. Căn bậc ba xác định cả khi biểu thức dưới căn âm.
8. Bài tập tự luyện
- Tìm điều kiện để \(\sqrt{5-2x}\) có nghĩa.
- Tìm điều kiện để \(\dfrac{1}{\sqrt{x-3}}\) có nghĩa.
- Tìm điều kiện để \(\sqrt{\dfrac{x+1}{x-2}}\) có nghĩa.
- Tìm điều kiện để \(\sqrt[3]{\dfrac{2x-1}{x+4}}\) xác định.
Đáp số: (1) \(x\le\dfrac52\); (2) \(x>3\); (3) \(x\le-1\) hoặc \(x>2\); (4) \(x\ne-4\).
Xem thêm Chuyên đề Đại số THCS.