LÝ THUYẾT
– Hàm số $ \sqrt{A}$ xác định ⇔ $ A\ge 0$.
– Hàm phân thức xác định ⇔ mẫu thức khác 0.
VÍ DỤ CÓ LỜI GIẢI
Ví dụ 1: Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa:
a) $\sqrt{-7 x}$
b) $\sqrt{2 x+6}$
c) $\sqrt{\dfrac{1}{-4 x+2}}$
Giải:
a)$ \sqrt{{-7x}}$ xác định ⇔ $ -7x\ge 0\Leftrightarrow x\le 0$
b) $ \sqrt{{2x+6}}$ xác định ⇔ $ \Leftrightarrow 2x+6\ge 0\Leftrightarrow 2x\ge -6\Leftrightarrow x\ge -3$
c) $\sqrt{\dfrac{1}{-4 x+2}}$ xác định
$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{-4\text{x}+2}}\ge 0\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {-4\text{x}+2\ne 0} \\ {-4\text{x}+2\ge 0} \end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow -4\text{x}+2>0\Leftrightarrow \text{x}<\dfrac{1}{2}$
Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
a) $\sqrt{(x+2)(x-3)}$
b) $\sqrt{\dfrac{1}{x^{4}-16}}$
c) $\sqrt[3]{\dfrac{x-2}{x+5}}$
Giải:
a) $\sqrt{(x+2)(x-3)}$ xác định
$\Leftrightarrow(x+2)(x-3) \geq 0$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\{\mathrm{x}+2 \geq 0 \\ \mathrm{x}-3 \geq 0 \\ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+2 \leq 0 \\ \mathrm{x}-3 \leq 0\end{array}\right.\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x} \geq-2 \\ \mathrm{x} \geq 3\end{array}\right. \\ \mathrm{x} \leq-2 \\ \mathrm{x} \leq 3\end{array}\right.\right.$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\mathrm{x} \geq 3 \\ \mathrm{x} \leq-2\end{array}\right.$
Vậy điều kiện xác định của biểu thức là $x \geq 3$ hoặc $x \leq-2$.
b) $\sqrt{\dfrac{1}{x^{4}-16}}$ xác định
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{x^{4}-16} \geq 0$
$\Leftrightarrow x^{4}-16 \geq 0$
$\Leftrightarrow\left(x^{2}-4\right)\left(x^{2}+4\right) \geq 0$
$\Leftrightarrow(x-2)(x+2)\left(x^{2}+4\right) \geq 0$
$ \Leftrightarrow (x-2)(x+2)\ge 0$ (vì $ {{{x}^{2}}+4>0}$)
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x-2 \geq 0 \\ x+2 \geq 0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x-2 \leq 0 \\ x+2 \leq 0\end{array}\right.\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\{x \geq 2 \\ x \geq-2 \\ \left\{\begin{array}{l}x \leq 2 \\ x \leq-2\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x \geq 2 \\ x \leq-2\end{array}\right.\right.\end{array}\right.\right.$
Vậy điều kiện xác định của biểu thức là $ x\ge 2$ hoăc $ x\le -2$.
c) $ \sqrt[3]{{\dfrac{{x-2}}{{x+5}}}}$ xác định
$\Leftrightarrow x+5 \neq 0$
$\Leftrightarrow x \neq-5$
Vậy điều kiện xác định của biểu thức là $ x\ne 5$.