Đề thi HSG Toán 7 huyện Như Thanh, Thanh Hoá 2021-2022

Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 7 huyện Như Thanh, tỉnh Thanh Hoá, năm học 2021-2022. Thời gian làm bài 150 phút.

Ngày thi 5/5/2022. Hình thức thi tự luận gồm 5 câu.

Gợi ý Đáp án

Câu 3:

3.1: xy(x-2)-(x-2)=5
<=> (xy-1)(x-2)=5
Giải hệ…
3.2: Từ gt: a3+b3+c3+d3=3c3-15d3=3(c3-5d3) chia hết cho 3
Mà: a3+b3+c3+d3=(a+b+c+d)^3- 3A(một lượng ab,bc,cd,da)=> (a+b+c+d)^3 chia hết 3=> a+b+c+d chia hết 3

Câu 5: Để: x3+x/xy-1 nguyên dương thì x3+x chia hết cho xy-1 và xy>=1
Ta có: y(x3+x) chia hết cho xy-1=> x2(xy-1)+xy-1+x2+1 chia hết xy-1=> x2+1 chia hết xy-1
Ta có: y(x2+1) chia hết xy-1=> x(xy-1)+x+y chia hết xy-1=> x+y chia hết cho xy-1
Mà: x+y>0=> x+y>=xy-1
=> (x-1)(y-1)<=2 TH1: x-1=0=>x=1=> y=2 hoặc y=3
TH2: x-1=1=> x=2=> y=1 hoặc y=3.
TH3: x-1=2=> x=3=> y=1 hoặc 2
Vậy:(x,y)=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2).
=> x+y=3 hoặc 4 hoặc 5
xy=2 hoặc 3 hoặc 6
Xét:x+y=3 và xy=2=> 3+z=2z=> z=3(thoả)
Xét:x+y=4 và xy=3=> 4+z=3z=> z=2(thoả)
Xét:x+y=5 và xy=6=> 5+z=6z=> z=1(thoả)
Vậy: luôn tồn tại z nguyên dương thoả đề