Đề thi HSG môn Toán 12 thành phố Hà Nội 2021-2022

Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 THPT thành phố Hà Nội, năm học 2021-2022. Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao đề).

Ngày thi 23/12/2021. Hình thức thi tự luận gồm 6 câu.

Đáp án đề thi HSG môn Toán lớp 12 thành phố Hà Nội năm học 2021-2022

Gợi ý giải:

Câu II, ý 1): Chỉ cần để ý a+b=c+d và a^2+b^2=c^2+d^2 thì a=c hoặc a=d là được.

Câu II, ý 2): Đặt a=x-1 thì phương trình đầu có thể viết thành a^2-3a+4 căn(a)=y^2-3y+4 căn(y). Nếu a khác y thì từ đây, ta thu được

a+y+4/(căn(a)+căn(y))=3.

Mà a+y>=căn(a^2+y^2)=5>3, mâu thuẫn.

Do đó a=y. Thế vào pt thứ 2 là xong.

Câu VI: Để ý bdt phụ (x+y+z)^2>=3(xy+yz+zx), ta có

(sigma 1/a^2)^2>=3sigma 1/(a^2b^2)=9/(a^2b^2c^2).

Suy ra sigma 1/a^2>=3/(abc). Từ đó dễ thấy P>=1/(abc)>=1.