Lưu ý về chương trình: Đây là đề/tài liệu được lưu theo nội dung và cấu trúc tại thời điểm phát hành. Phạm vi kiến thức, thuật ngữ và dạng câu hỏi có thể khác Chương trình GDPT 2018 và kế hoạch giáo dục hiện hành. Với đề HSG/Olympic/đội tuyển, nội dung có thể vượt yêu cầu cần đạt của chương trình đại trà.
Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 THPT thành phố Hà Nội, năm học 2021-2022. Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao đề).
Ngày thi 23/12/2021. Hình thức thi tự luận gồm 6 câu.
Đáp án đề thi HSG môn Toán lớp 12 thành phố Hà Nội năm học 2021-2022
Gợi ý giải:
Câu II, ý 1): Chỉ cần để ý a+b=c+d và a^2+b^2=c^2+d^2 thì a=c hoặc a=d là được.
Câu II, ý 2): Đặt a=x-1 thì phương trình đầu có thể viết thành a^2-3a+4 căn(a)=y^2-3y+4 căn(y). Nếu a khác y thì từ đây, ta thu được
a+y+4/(căn(a)+căn(y))=3.
Mà a+y>=căn(a^2+y^2)=5>3, mâu thuẫn.
Do đó a=y. Thế vào pt thứ 2 là xong.
Câu VI: Để ý bdt phụ (x+y+z)^2>=3(xy+yz+zx), ta có
(sigma 1/a^2)^2>=3sigma 1/(a^2b^2)=9/(a^2b^2c^2).
Suy ra sigma 1/a^2>=3/(abc). Từ đó dễ thấy P>=1/(abc)>=1.
