Dưới đây là chia sẻ của Học Toán 123 về một số dạng biểu thức và cách tìm GTLN, GTNN tương ứng. Cụ thể như sau:
Câu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau khi đã rút gọn thường xuất hiện ở câu 1 trong các đề thi học kì, đề thi vào lớp 10 môn Toán.
1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức có dạng $\displaystyle A=\sqrt{x-a}+\sqrt{b-x}$
Phương pháp: Điều kiện rồi bình phương hai vế, sau đó sử dụng Cosi:
Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức $\displaystyle A=\sqrt{x-4}+\sqrt{10-x}$
Điều kiện: $4 \leq x \leq 10 .$
Ta có: $\displaystyle A^{2}=(\sqrt{x-4}+\sqrt{10-x})^{2}=x-4+2 \sqrt{(x-4)(10-x)}+10-x=6+2 \sqrt{(x-4)(10-x)}$
Vì $\displaystyle\sqrt{(x-4)(10-x)} \geq 0$ nên $\displaystyle A^{2} \geq 6$
⇒ $\displaystyle A \geq \sqrt{6}$. Vậy $\displaystyle A \mathrm{~min}=\sqrt{6}$ khi $\displaystyle\sqrt{(x-4)(10-x)}=0$
⇒ $\displaystyle\left[\begin{array}{l}x=4 \\ x=10\end{array}\right.$.
Vì $2 \sqrt{(x-4)(10-x)} \leq x-4+10-x=6$ (BĐT Cosi $2 \sqrt{a b} \leq a+b)$
Suy ra $\displaystyle A^{2}=6+2 \sqrt{(x-4)(10-x)} \leq 12 \Rightarrow A \leq \sqrt{12}$
Vậy $\displaystyle\max A=\sqrt{12}$ khi $x-4=10-x \Leftrightarrow x=7$
2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng cách sử dụng hằng đẳng thức số 1 và số 2:
$\displaystyle\left\{\begin{array}{l}(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \\ (a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}\end{array}\right.$
Ví dụ: Tìm GTLN của $\displaystyle A=\sqrt{x}-x .$ Ta có: $\displaystyle A=\dfrac{1}{4}-\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^{2}$
$\displaystyle\mathrm{Vi}\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^{2} \geq 0 \quad \forall x \geq 0 \Rightarrow \dfrac{1}{4}-\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^{2} \leq \dfrac{1}{4} .$
Dấu bằng xảy ra khi $\displaystyle\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}$
Vậy max $\displaystyle\ A=\dfrac{1}{4}$ khi $x=\dfrac{1}{4}$.
Chú ý với biểu thức: $\displaystyle A=x+2 \sqrt{x}+4$. Các em chỉ cần đánh giá:
$x \geq 0 \Rightarrow x+2 \sqrt{x} \geq 0 \Rightarrow A=x+2 \sqrt{x}+4 \geq 4$
3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng phương pháp đánh giá
Cách này thường dùng khi có thể đánh giá trực tiếp biểu thức trên đúng miền xác định.
Ví dụ: Xét biểu thức $\displaystyle A=\dfrac{10}{3-2\sqrt{x}}$.
Điều kiện xác định: $x\geq 0$ và $x\ne \dfrac{9}{4}$.
Đặt $t=\sqrt{x}\geq 0$, $t\ne \dfrac{3}{2}$. Khi $t\to \left(\dfrac{3}{2}\right)^+$ thì $3-2t\to 0^-$, do đó
$\displaystyle A=\dfrac{10}{3-2t}\to -\infty$.
Vì vậy, trên miền xác định $x\geq 0,\ x\ne \dfrac{9}{4}$, biểu thức $A$ không có giá trị nhỏ nhất.
Nếu bài toán bổ sung điều kiện $0\leq x<\dfrac{9}{4}$ thì mẫu số dương và $3-2\sqrt{x}\leq 3$, khi đó $A\geq \dfrac{10}{3}$; dấu bằng xảy ra tại $x=0$.
4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng cách thực hiện phép chia rồi đánh giá
Cách này thường dùng khi tử số và mẫu số cùng bậc.
Ví dụ: Tìm GTNN của $\displaystyle A=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+6} .$
Ta có: $\displaystyle A=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+6}=1-\dfrac{5}{\sqrt{x}+6}$
Vì $\displaystyle\sqrt{x} \geq 0 \forall x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x}+6 \geq 6 \Rightarrow \dfrac{5}{\sqrt{x}+6} \leq \dfrac{5}{6} \Rightarrow 1-\dfrac{5}{\sqrt{x}+6} \geq 1-\dfrac{5}{6}=\dfrac{1}{6}$.
Dấu bằng xảy ra khi $x=0$. Vậy $\displaystyle\min A=\dfrac{1}{6} \Leftrightarrow x=0$
5. Phương pháp chia (tách) rồi sử dụng bất đẳng thức Cosi
Cách này thường dùng khi bậc tử lớn hơn bậc mẫu.
Ví dụ: Tìm GTNN của $\displaystyle A=\dfrac{x+7}{\sqrt{x}+3} .$
Ta có: $\displaystyle A=\dfrac{x+7}{\sqrt{x}+3}=\sqrt{x}-3+\dfrac{16}{\sqrt{x}+3}=(\sqrt{x}+3)+\dfrac{16}{\sqrt{x}+3}-6$
Áp dụng BĐT Cosi cho hai số $\displaystyle (\sqrt{x}+3) ; \dfrac{16}{\sqrt{x}+3}$
$(\sqrt{x}+3)+\dfrac{16}{\sqrt{x}+3} \geq 2 \sqrt{(\sqrt{x}+3) \cdot \dfrac{16}{\sqrt{x}+3}}=8 \Rightarrow(\sqrt{x}+3)+\dfrac{16}{\sqrt{x}+3}-6 \geq 2$
Dấu bằng xảy ra khi $(\sqrt{x}+3)=\dfrac{16}{\sqrt{x}+3} \Leftrightarrow(\sqrt{x}+3)^{2}=16 \Leftrightarrow x=1$
6. Tìm x ∈ N , x ∈ Z để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Ví dụ: Tìm $x \in \mathbb{N}$ để $\displaystyle A=\dfrac{3}{\sqrt{x}-2}$ đạt GTLN – GTNN
Điều kiện: $x \in \mathbb{N}, x \neq 4$.
Nếu $0 \leq x<4 \Rightarrow A<0,$ nếu $x>4 \Rightarrow A>0$.
Như vậy A đạt GTLN khi $x>4$ và A đạt GTNN khi $0 \leq x<4$.
+ Tìm giá trị lớn nhất: Để $\displaystyle A=\dfrac{3}{\sqrt{x}-2}$ đạt GTLN thì $\displaystyle\sqrt{x}-2$ đạt giá trị nhỏ nhất, mà $x>4$; $x \in \mathbb{N} \Rightarrow x=5$
Vậy max $\displaystyle\ A=\dfrac{3}{\sqrt{5}-2}=6+3 \sqrt{5} \Leftrightarrow x=5$.
+ Tìm giá trị nhỏ nhất: Để $\displaystyle A=\dfrac{3}{\sqrt{x}-2}$ đạt GTN thì $\displaystyle\sqrt{x}-2$ đạt GTLN, mà $0 \leq x<4$ và $x \in \mathbb{N} \Rightarrow x=3$
nên max $\displaystyle\ (\sqrt{x}-2)=\sqrt{3}-2$ suy ra min $\displaystyle\ A=\dfrac{3}{\sqrt{3}-2} \Leftrightarrow x=3$.