Cách giải phương trình trùng phương

LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG

Cho phương trình: $ \displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c=0\,\,\,\,(a\ne 0)$   (1)

Đặt $ \displaystyle \text{t}=x^{2}\,\,(\text{t}\ne 0)$ Ta được phương trình: $a t^{2}+b t+c=0$ (2)

• Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm dương phân biệt ⇔ $ \left\{ \begin{array}{l}\Delta >0\\P>0\\S>0\end{array} \right.$
• Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0 ⇔ $ \left\{ \begin{array}{l}\Delta >0\\P=0\\S>0\end{array} \right.$
• Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có một một nghiệm kép dương hoặc có ai nghiệm trái dấu ⇔ $ \displaystyle \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta =0\\S>0\end{array} \right.\\P<0\end{array} \right.$
• Phương trình (1) có 1 nghiệm ⇔ (2) có một nghiệm kép bằng 0 hoặc có một nghiệm bằng không và nghiệm còn lại âm ⇔ $ \displaystyle \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta =0\\S=0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}P=0\\S<0\end{array} \right.\end{array} \right.$
• Phương trình (1) có 1 nghiệm ⇔ (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm ⇔ $ \displaystyle \left[ \begin{array}{l}\Delta <0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\P>0\\S<0\end{array} \right.\end{array} \right.$
• Nếu phương trình có 4 nghiệm thì tổng các nghiệm luôn bằng 0 và tích các nghiệm luôn bằng $ \displaystyle \frac{c}{a}$.

VÍ DỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG

Ví dụ 1: Giải phương trình: $ \displaystyle {{x}^{4}}-13{{x}^{2}}+36=0$ (1)

Giải:

Cách 1: Đặt $t=x^{2} \Rightarrow t \geq 0$ phương trình (1) có dạng:

$t^{2}-13 t+36=0$

Ta có:

$ \displaystyle \Delta ={{(-13)}^{2}}-4.36=25\Rightarrow \sqrt{\Delta }=5$

⇒ $ \displaystyle {{t}_{1}}=\frac{-(-13)+5}{2}=9$; $ \displaystyle {{t}_{2}}=\frac{-(-13)-5}{2}=4$

• Với $t_{1}=9 \Leftrightarrow x^{2}=9$ ⇒ $ \displaystyle x=\pm \sqrt{9}=\pm 3$

• Với $t_{2}=4 \Leftrightarrow x^{2}=4$ ⇒ $ \displaystyle x=\pm \sqrt{4}=\pm 2$

Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm: $ \displaystyle x_{1}=-2;\,\,x_{2}=-3;\,\,x_{3}=2;\,\,x_{4}=3$.

Cách 2:

$ \displaystyle {{x}^{4}}-13{{x}^{2}}+36=0$

$ \displaystyle \begin{array}{l}\Leftrightarrow ({{x}^{4}}-12{{x}^{2}}+36)-{{x}^{2}}=0\\\Leftrightarrow {{({{x}^{2}}-6)}^{2}}-{{x}^{2}}=0\\\Leftrightarrow ({{x}^{2}}-6-x)({{x}^{2}}-6+x)=0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-6-x=0\\{{x}^{2}}-6+x=0\end{array} \right.\end{array}$

Giải phương trình: $x^{2}-6-x=0$ ta được 2 nghiệm: $x=-2 ; x=3$.

Giải phương trình:  $x^{2}-6+x=0$ ta được 2 nghiệm $x= 2 ; x= -3$.

Vậy phương  trình (1) có 4 nghiệm: $x_{1}=-3 ; x_{2}=-2 ; x_{3}=2 ; x_{4}=3$.

BÀI TẬP TỰ GIẢI

Giải các phương trình sau:

1) $ \displaystyle {{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+4=0$

2) $ \displaystyle {{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+3=0$

3) $ \displaystyle 5{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+2=0$

4) $ \displaystyle {{x}^{4}}+5{{x}^{2}}+6=0$

5) $ \displaystyle 2{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+2=0$