Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 tỉnh Bạc Liêu, năm học 2021-2022. Thời gian làm bài 150 phút.
Ngày thi 03 tháng 4 năm 2022. Hình thức thi tự luận gồm 4 câu.
Đáp án Đề thi HSG Toán 9 tỉnh Bạc Liêu năm học 2021-2022
Câu 1a
Đặt \(B=20^n+16^n-3^n-1\). Ta viết
\[B=(20^n-3^n)+(16^n-1).\]
Vì \(20\equiv3\pmod{17}\) và, với \(n\) chẵn, \(16^n\equiv(-1)^n\equiv1\pmod{17}\), suy ra \(17\mid B\).
Đặt \(n=2k\). Khi đó
\[B=400^k+256^k-9^k-1=(400^k-1)+(256^k-9^k).\]
Do \(400\equiv1\pmod{19}\) và \(256\equiv9\pmod{19}\), suy ra \(19\mid B\). Vì \(\gcd(17,19)=1\), nên \(323=17\cdot19\mid B\).
Câu 1b
Gọi \(u=11\ldots11\) (gồm \(n\) chữ số 1), khi đó
\[u=\frac{10^n-1}{9}\quad\Rightarrow\quad10^n=9u+1.\]
Với số \(C=44\ldots4488\ldots8+1\) (\(n\) chữ số 4 và \(n\) chữ số 8), ta có
\[C=4u\cdot10^n+8u+1=4u(9u+1)+8u+1=(6u+1)^2.\]
Vì \(6u+1\) là số nguyên dương, \(C\) là một số chính phương.
hay