Đề thi HSG Toán 9 tỉnh Bạc Liêu 2021-2022

Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 tỉnh Bạc Liêu, năm học 2021-2022. Thời gian làm bài 150 phút.

Ngày thi 03 tháng 4 năm 2022. Hình thức thi tự luận gồm 4 câu.

Đáp án Đề thi HSG Toán 9 tỉnh Bạc Liêu năm học 2021-2022

Câu 1a): Đặt B= 20^n+16^n-3^n-1
Ta có: 20^n+16^n-3^n-1= (20^n-3^n)+(16^n-1)
Mặt khác: 20^n-3^n chia hết cho 17
16^n-1^n chia hết cho 17 do n chẵn
—> B chia hết cho 17 (1)
Do n chẵn —> n=2k (k nguyên dương)
Thay vào biểu thức đề cho ta có:
20^(2k) + 16^(2k) -3^(2k)-1= 400^k+256^k-9^k-1= (400^k-1)+(256^k-9^k)
Mặt khác 400^k-1 chia hết cho 399
—> 400^k-1 chia hết cho 19 ( Do 399 đồng dư với 0 (mod 19))
Tương tự: 256^k-9^k chia hết cho 19
—-> B chia hết cho 19 (2)
Mà (17,19)=1 (3)
Từ (1);(2);(3) —> B chia hết cho 17.19= 323
Câu 1b:
Ta có: C=44…4488…8+1 (n chữ số 4 và n chữ số 8 )
= 4.111…11.10^n + 8.111..11+1
Đặt 111…11=u —> (10^n-1)/9=u <=> 10^n-1=9u <=> 9u+1=10^n
Khi đó ta có: C= 4u(9u+1)+8u+1= 36u^2+4u+8u+1= (6u)^2+12u+1= (6u+1)^2
Mà 6u+1 nguyên dương
Nên —> C là SCP