Lũy thừa với số mũ tự nhiên. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Lũy thừa bộc $n$ của $a$ là tích của $n$ thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng $a$.

$a^{n}=a . a . a . a \ldots a(n \neq 0)$ ($n$ thừa số $a$)

Quy ước: $a^{1}=a$.

2. Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số $a$, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ.

$a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$ và $\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m . n}$

BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1: Viết gọn các biểu thức sau:

a) $4.4 .4 .4 .4 .4$

b) $2.4 .8 .8 .8$

c) $10.100 .1000 .10000$

Bài giải:

a) $4.4 .4 .4 .4 .4=4^{6}$

b) $2.4 .8 .8 .8=2.2^{2} \cdot 2^{3} \cdot 2^{3} \cdot 2^{3}=2^{1+2+3+3+3}=2^{12}$

c) $10.100 .1000 .10000=10.10^{2} \cdot 10^{3} \cdot 10^{4}=10^{1+2+3+4}=10^{10}$

Ví dụ 2: Viết các kết quả sau dưới dạng một lũy thừa:

$4^{8} \cdot 2^{10}$

$9^{12} \cdot 27^{4} \cdot 81^{3}$

$x^{7} \cdot x^{4} \cdot x^{2}$

Bài giải:

$4^{8} \cdot 2^{10}=\left(2^{2}\right)^{8} \cdot 2^{10}=2^{2 \cdot 8} \cdot 2^{10}=2^{16} \cdot 2^{10}=2^{26}$

$9^{12} \cdot 27^{4} \cdot 81^{3}=\left(3^{2}\right)^{12} \cdot\left(3^{3}\right)^{4} \cdot\left(3^{4}\right)^{3}=3^{24} \cdot 3^{12} \cdot 3^{12}=3^{24+12+12}=3^{48}$

$x^{7} \cdot x^{4} \cdot x^{2}=x^{7+4+2}=x^{13}$

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1: Viết các kết quả sau dưới dạng một lũy thừa:

a) $3^{7} \cdot 27^{5} \cdot 81^{3}$

b) $100^{6} \cdot 1000^{5} \cdot 10000^{3}$

Bài giải:

a) $3^{7} \cdot 27^{5} \cdot 81^{3}=3^{7} \cdot\left(3^{3}\right)^{5} \cdot\left(3^{4}\right)^{3}$

$=3^{7} \cdot 3^{15} \cdot 3^{12}=3^{7+15+12}=3^{34}$

b) $\left(10^{2}\right)^{6} \cdot\left(10^{3}\right)^{5} \cdot\left(10^{4}\right)^{3}=10^{12} \cdot 10^{15} \cdot 10^{12}=10^{12+15+12}=10^{39}$

Bài 2: So sánh:

a) $5^{36}$ và $11^{24}$.

b) $5^{23}$ và $6.5^{22}$.

Bài giải:

a) $5^{36}=\left(5^{3}\right)^{12}=125^{12}$

$11^{24}=\left(11^{2}\right)^{12}=121^{12}$

mà $125^{12}>121^{12}=>5^{36}>11^{24}$.

b) Ta có $5^{23}=5.5^{22}<6.5^{22}$.

BÀI TẬP NÂNG CAO

Bài 1: Tìm $x$ biết: $2^{x}+2^{x+3}=144$

Bài giải:

Ta có $2^{x}+2^{x+3}=144$

$\Rightarrow 2^{x}+2^{x} \cdot 2^{3}=144$

$\Rightarrow 2^{x} \cdot(1+8)=144$

$\Rightarrow 2^{x} \cdot 9=144$

$\Rightarrow 2^{x}=144: 9=16=2^{4}$

$\Rightarrow x=4 .$

Bài 2: Thu gọn tổng sau: $A=2+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{2017}$

Bài giải:

Ta có $A=2+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{2017}$

$\Leftrightarrow 2 \mathrm{~A}=2 \cdot\left(2+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{2017}\right)$

$\Leftrightarrow 2 A=2^{2}+2^{3}+2^{4}+\ldots+2^{2018}$

$\Leftrightarrow 2 A-A=\left(2^{2}+2^{3}+2^{4}+\ldots+2^{2018}\right)-\left(2+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{2017}\right)$

$\Leftrightarrow A=2^{2018}-2$