Học Toán 123 chia sẻ với các em học sinh lớp 8 38 bài toán liên quan tới đường trung bình của tam giác, hình thang.
Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm, BC = 9cm. Kéo dài AB lấy điểm D sao cho BD = BA, kéo dài AC lấy điểm E sao cho CE = CA. Kéo dài đường trung tuyến AM của tam giác ABC lấy MI = MA.
1) Tính độ dài các cạnh tam giác ADE.
2) Chứng minh:
a) DI // BC
b) Ba điểm D, I, E thẳng hàng.
Bài 2: Cho tam giác ABC có độ dài BC = a và M là trung điểm của AB. Tia Mx // BC cắt AC tại N.
1) Chứng minh N là trung điểm của AC.
2) Tính độ dài đoạn thẳng MN theo a.
Bài 3: Cho tam giác MNP có MN = 4cm, MP = 6cm, NP = 8cm. Kéo dài MN lấy điểm I sao cho NI = NM, kéo dài MP lấy điểm K sao cho PK = PM, kéo dài trung tuyến MO của tam giác MNP lấy OS = OM.
1) Tính độ dài các cạnh của tam giác MIK.
2) Chứng minh ba điểm I, S, K thẳng hàng.
3) Chứng minh $ \displaystyle S_{{MKI}} = 4 S_{{MNP}}$.
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của BC. Kẻ Mx // AC cắt AB tại E, kẻ My // AB cắt AC tại F. Chứng minh rằng:
1) E, F là trung điểm của AB và AC.
2) $ \displaystyle EF = \dfrac{1}{2}BC$.
3) $ME = MF, AE = AF$
Bài 5: Cho tam giác OPQ cân tại O có I là trung điểm của PQ. Kẻ IM // OQ ( M thuộc OP ), IN // OP ( N thuộc OQ). Chứng minh rằng :
1) Tam giác IMN cân tại I.
2) OI là đường trung trực của MN.
Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A có AM là đường cao. N là trung điểm của AC. Kẻ Ax // BC cắt MN tại E. Chứng minh rằng :
1) M là trung điểm của BC. 2) ME // AB 3) AE = MC
Bài 7: Cho tam giác ABC, trên nửa mặt phẳng bờ là AC không chứa điểm B. Lấy điểm D bất kì. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, AD. Chứng minh:
1) MN // PQ và MQ // NP.
2) MN + NP + PQ + MQ = AC + BD.
Bài 8: Cho tam giác ABC có đường cao AH. Kẻ $ \displaystyle HE \bot $ AB tại E, kéo dài HE lấy EM = EH. Kẻ $ \displaystyle HF \bot $ AC tại F, kéo dài HF lấy FN = FH. Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng:
1) AB là trung trực của MH và AC là trung trục của HN.
2) Tam giác AMN cân.
3) EF // MN.
4) $ \displaystyle AI \bot $ EF.
Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của đường cao AH, CM cắt AB tại D, kẻ Hx // CD và cắt AB tại E. Chứng minh rằng:
1) DA = DE 2) AB = 3AD 3) CD = 4MD
Bài 10: Cho tam giác ABC có AB : AC : BC = 3 : 4 : 6. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của AB, AC và BC. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết chu vi tam giác MNP bằng 5,2cm.
Bài 11: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 36cm. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của AB, AC và BC. Tính độ dài các cạnh của tam giác MNP biết NP : NM : MP = 4 : 3 : 2.
Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến. Gọi N là trung điểm của AC
1) Chứng minh $ \displaystyle MN \bot $ AC.
2) Tam giác AMC là tam giác gì? Vì sao
3) Chứng minh 2AM = BC.
Bài 13: Cho tam giác ABC nhọn có hai đường cao BD và CE. Gọi M, N là trung điểm của BC và DE. Chứng minh rằng :
1) $ \displaystyle DM = \dfrac{1}{2}$ BC.
2) Tam giác DME cân.
3) $ \displaystyle MN \bot DE $.
Bài 14 : Cho tam giác ABC trên AC lấy theo thứ tự điểm D và E sao cho AD = DE = EC. Gọi M là trung điểm của BC, BD cắt AM tại I. Chứng minh rằng :
1) ME // BD.
2) I là trung điểm của AM.
3) $ \displaystyle ID = \dfrac{1}{4}$ BD.
Bài 15: Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến. Lấy D thuộc AC sao cho $ \displaystyle AD = \dfrac{1}{2}$DC. Kẻ ME // BD ( E thuộc CD ), BD cắt AM tại I. Chứng minh rằng:
1) AD = DE = EC.
2) I là trung điểm của AM
3) $ \displaystyle S_{{AIB}} = S_{{IMB}}$
4) $ \displaystyle S_{{ABC}} = 2S_{{BDC}}$.
Bài 16: Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến. Gọi D là trung điểm của AM, BD cắt AC tại E. Kẻ MK // BE ( K thuộc EC ). Chứng minh rằng:
1) K là trung điểm của CE 2) CE = 2AE
Bài 17 : Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến. Gọi D là trung điểm của AM, BD cắt AC tại I. Chứng minh $ \displaystyle AI = \dfrac{1}{2}CI$.
Bài 18: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GB và GC. Chứng minh rằng:
1) DE // IK và DE = IK.
2) $ \displaystyle \Delta DEK = \Delta IKE$.
Bài 19: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GB và GC. Chứng minh rằng:
1) IE // DK và IE = DK 2) $ \displaystyle S_{{DEI}} = S_{{DIK}}$
Bài 20: Cho tam giác ABC có H là trực tâm, M là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HM cắt AB và AC tại E và F, trên tia đối của tia HC lấy HD = HC. Chứng minh rằng:
1) HM // BD 2) E là trực tâm của tam giác HBD
3) DE // AC 4) EH = HF
Bài 21: Cho hình thang ABCD ( AB // CD; AB < CD ) và AB = BC
1) Chứng minh CA là tia phân giác của góc BCD.
2) Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC và BD. Chứng minh M, N, E, F thẳng hàng
Bài 22: Cho hình thang ABCD ( AB // CD; AB < CD ). Trên AD lấy AE = EM = MP = PD. Trên BC lấy BF = FN = NQ = QC
1) Chứng minh M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC
2) Tứ giác EFQP là hình gì? Vì sao?
3) Tính MN, EF, PQ biết AB = 8cm và CD = 12cm
4) Kẻ AH $ \displaystyle \bot CD $ tại H và AH = 10cm. Tính $ \displaystyle S_{{ABCD}}$.
Bài 23: Cho hình thang ABCD ( AB // CD; AB < CD ). Trên AD lấy AE = EF = FG = GD. Từ E, F, G dựng các đường thẳng song song với 2 đáy cắt BC lần lượt tại M, N và P.
1) Chứng minh BM = MN = NP = PC
2) Tính GP, EM, AB biết CD = 10cm, FN = 6cm
3) Chứng minh $ \displaystyle S_{{ABD}}= 4 S_{{ABE}}$ và $ \displaystyle S_{{CDNF}} = 2 S_{{ABNP}}$
Bài 24: Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy AD = DE = EB. Từ D, E kẻ các đường thẳng cùng song song với BC cắt cạnh AC lần lượt tại M,N. Chứng minh rằng:
1) M là trung điểm của AN 2) AM = MN = NC
3) 2EN = DM + BC 4) $ \displaystyle S_{{ABC}} = 3 S_{{AMB}}$
Bài 25: Cho tam giác MNP có MI là đường trung tuyến của tam giác. Trên MP lấy theo thứ tự MK = KH = HP, NK cắt MI tại O.
1) Tứ giác OKHI là hình gì? 2) Chứng minh NO = 3OK
3) So sánh $ \displaystyle S_{{MNI}}$ và $ \displaystyle S_{{MIP}}$
Bài 26: Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) có đường cao AH = 3cm và AB = 5cm, CD = 8cm. Gọi E, F, I lần lượt là trung điểm của AD, BC và AC
1) Chứng minh E, I, F thẳng hàng.
2) Tính $ \displaystyle S_{{ABCD}}$
3) So sánh $ \displaystyle S_{{ADC}}$và 2$ \displaystyle S_{{ABC}}$
Bài 27: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, I lần lượt là trung điểm của AD, BC và AC
1) Chứng minh: EI // CD và IF // AB
2) Chứng minh: $ \displaystyle EF \le \dfrac{{AB+CD}}{2}$
3) Tứ giác ABCD phải có điều kiện gì thì $ \displaystyle EF = \dfrac{{AB+CD}}{2}$
Bài 28 : Cho hình thang ABCD ( AB // CD ). M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BC. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD, AC. Cho AB = 6cm, CD = 14cm
1) Tính các độ dài MI, IK, KN
2) Tính $ \displaystyle S_{{ABNM}}$biết đường cao của hình thang ABCD là 8cm.
Bài 29: Cho tam giác ABC có 2 đường trung tuyến BD và CE. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và CD. Gọi I, K là giao điểm của MN với BD và CE. Chứng minh rằng:
1) EDCB là hình thang
2) I là trung điểm của BD và K là trung điểm của CE
3) MI = IK = KN
Bài 30: Cho hình thang ABCD ( AB // CD ). Gọi M, I , K, N lần lượt là trung điểm của AD, BD, AC, BC. Chứng minh rằng:
1) M, I , K thẳng hàng
2) $ \displaystyle MK = \dfrac{1}{2}$CD và $ \displaystyle MI = \dfrac{1}{2}$AB
3) IK = $ \displaystyle \dfrac{{CD-AB}}{2}$
Bài 31: Cho hình thang ABCD có AB // CD ( AB < CD), AB = a, BC = b, CD = c, AD = d. Các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh A và D cắt nhau tại M, các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh B và C cắt nhau tại N. AM và BN lần lượt cắt đường thẳng CD tại P và Q
1) Chứng minh tam giác AMD và tam giác BNC vuông
2) Chứng minh tam giác ADP và tam giác BCQ cân
3) Chứng minh MN // CD
4) Tính độ dài MN theo a,b,c,d ( có cùng đơn vị đo )
Bài 32: Cho hình thang MNPQ ( MN // PQ ). Các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh M và Q cắt nhau tại I. Các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh N và P cắt nhau tại K. Chứng minh rằng :
1) $ \displaystyle MI \bot $ IQ và NK $ \displaystyle \bot $ PK 2) IK // PQ
Bài 33: Cho tứ giác ABCD có P, I, Q lần lượt là trung điểm của AD, BD, BC.
1) Chứng minh PI + IQ = ( AB + CD ).$ \displaystyle \dfrac{1}{2}$ $ \displaystyle \ge $PQ
2) Giả sử có PQ = $ \displaystyle \dfrac{{AB+CD}}{2}$. Chứng minh rằng P, I , Q thẳng hàng
Bài 34: Cho tứ giác ABCD có P, I và Q lần lượt là trung điểm của AD, BD và BC.
1) So sánh PI + IQ với AB + CD
2) Giả sử có $ \displaystyle PQ = \dfrac{{AB+CD}}{2}$. Chứng minh AB // CD.
Bài 35: Vẽ ra phía ngoài tam giác nhọn ABC các tam giác vuông cân ABD và ACE ở B và C. Gọi M là trung điểm của DE, kẻ DN, AH, MI, EK cùng vuông góc với BC tại N, H, I, K. Chứng minh rằng:
1) I là trung điểm của NK
2) $ \displaystyle \Delta $DNB =$ \displaystyle \Delta $BHA và $ \displaystyle \Delta $EKC = $ \displaystyle \Delta $CHA
3) I là trung điểm của BC
4) $ \displaystyle \Delta $CMB vuông cân ở M
Bài 36: Cho tam giác ABC có G là trọng râm. Qua G vẽ đường thẳng d cắt 2 cạnh AB và AC. Gọi I, M là trung điểm của AG và BC. Gọi A’, B’, C’, I’, M’ lần lượt là hình chiếu của A, B, C, I, M trên d
1) Chứng minh : GI = GM và II’ = $ \displaystyle \dfrac{1}{2}$AA’
2) Tìm hệ thức liên hệ giữa các độ dài AA’, BB’, CC’
Bài 37: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ đường thẳng d không song song với BC. Gọi I là trung điểm của AB, K là trung điểm của CG. Gọi A’, B’, C’, I’, K’, G’ lần lượt là hình chiếu của A, B, C, I, K, G trên d
1) Chứng minh: CK = KG = GI
2) Chứng minh: C’K’ = K’G’ = G’T’ và I’ là trung điểm của A’B’
3) Tìm hệ thức liên hệ giữa các độ dài AA’, BB’, CC’với GG’
Bài 38: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC) có AH là đường cao. Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HB. Kẻ $ \displaystyle DE \bot $ AC ở E, HK $ \displaystyle \bot $ AC ở K.
1) So sánh KA và KE.
2) Chứng minh $ \displaystyle \Delta $AHE cân ở H.
3) Gọi M là trung điểm của DC. Chứng minh $ \displaystyle \widehat{{HEM}}=90^{0}$