Trong bài viết này, Học Toán 123 hướng dẫn các em học sinh lớp 10 cách lập bảng xét dấu cho tham thức bậc 2.
ĐỊNH NGHĨA TAM THỨC BẬC 2
Tam thức bậc hai đối với $x$ là biểu thức có dạng $ \displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c$, trong đó $a, b, c$ là những hệ số, $a ≠ 0$.
Ví dụ:
$ \displaystyle f(x)=x^{2}-4x + 5$ là tam thức bậc hai
$f(x) = x^{2}(2x-3)$ không phải là tam thức bậc hai.
ĐỊNH LÝ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC 2
Cho $ \displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c$, $Δ = {b^2} – 4ac$.
– Nếu $Δ<0$ thì $f(x)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi x ∈ R.
– Nếu $Δ=0$ thì $f(x)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ trừ khi $\displaystyle x\text{ }=-\frac{b}{{2\text{a}}}$.
– Nếu $Δ>0$ thì $f(x)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ khi $x<{{x}_{1}}$ hoặc $x>{{x}_{2}}$ ; trái dấu với hệ số $a$ khi ${{x}_{1}}<x<{{x}_{2}}$ trong đó ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ (với ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của $f(x)$).
*Chú ý: Mẹo nhớ dấu của tam thức khi có 2 nghiệm: Trong trái ngoài cùng
CÁCH XÉT DẤU CỦA TAM THỨC BẬC 2
– Bước 1: Tìm nghiệm của tam thức
– Bước 2: Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của hệ số $a$
– Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu và kết luận
BÀI TẬP XÉT DẤU CỦA TAM THỨC BẬC 2
Bài 1: Xét dấu của các tam thức bậc hai dưới đây
a) $ \displaystyle 5x^{2}-3x+1$
b) $ \displaystyle -2x^{2}+3x\text{+}5$
c) $ \displaystyle x^{2}+12x\text{+}36$
d) $ \displaystyle \left( {2x-3} \right)\left( {x+5} \right)$
Lời giải:
a) $ \displaystyle 5x^{2}-3x+1$
– Xét tam thức $ \displaystyle f\left( x \right)=5x^{2}-3x+1$
– Ta có: $\displaystyle \Delta ={{b}^{2}}-4ac=920=11<0$ nên $f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$.
– Mà $a = 5 > 0$ ⇒ $f(x) > 0$ với ∀ $x ∈ R$.
b) $ \displaystyle -2x^{2}+3x\text{+}5$
– Xét tam thức $ \displaystyle f\left( x \right)=-2x^{2}+3x\text{+}5$
– Ta có: $\displaystyle \Delta ={{b}^{2}}-4ac=9 40=49>0$.
– Tam thức có hai nghiệm phân biệt $\displaystyle {{x}_{1}}=1;\text{ }{{x}_{2}}~=\frac{5}{2}$, hệ số $a = –2 < 0$.
– Ta có bảng xét dấu:
$f(x) > 0$ khi $\displaystyle x\in \left( {1;\frac{5}{2}} \right)$
– Từ bảng xét dấu ta có:
$f(x) = 0$ khi $\displaystyle x=1\text{ };\text{ }x=\frac{5}{2}$
$f(x) < 0$ khi $\displaystyle x\in \left( {\infty ;1} \right)\text{ }\cup \text{ }\left( {\frac{5}{2}; \infty } \right)$
c) $ \displaystyle x^{2}+12x\text{+}36$
– Xét tam thức $ \displaystyle f\left( x \right)=x^{2}+12x\text{+}36$
– Ta có: $\displaystyle \Delta ={{b}^{2}}-4ac=~144~-144=~0$.
– Tam thức có nghiệm kép $x = –6$, hệ số $a = 1 > 0$.
– Ta có bảng xét dấu:
– Từ bảng xét dấu ta có:
$f(x) > 0$ với $∀x ≠ –6$
$f(x) = 0$ khi $x = –6$
d) $ \displaystyle \left( {2x-3} \right)\left( {x+5} \right)$
– Xét tam thức $ \displaystyle f\left( x \right)=(2x-3)\left( {x+5} \right)$
– Ta có: $\displaystyle \Delta ={{b}^{2}}-4ac=49 + 120=169>0$.
– Tam thức có hai nghiệm phân biệt $\displaystyle {{x}_{1}}~=\frac{3}{2};\text{ }{{x}_{2}}~=-5$, hệ số $a = 2 > 0$.
– Ta có bảng xét dấu:
– Từ bảng xét dấu ta có:
$ f(x) > 0$ khi $\displaystyle x\text{ }\in \text{ }\left( {\infty ;\text{ }-5} \right)\text{ }\cup \text{ }\left( {3/2;\text{ } \infty } \right)$
$ f(x) = 0$ khi $\displaystyle x=-5\text{ };\text{ }x=\frac{3}{2}$
$ f(x) < 0$ khi $\displaystyle x\in \left( {-5;\frac{3}{2}} \right)$