Để xét đường thẳng và mặt phẳng trong Oxyz, có thể dùng tích vô hướng giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, sau đó kiểm tra một điểm của đường có thuộc mặt phẳng hay không.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Phương trình mặt phẳng trong Oxyz để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Nếu đường thẳng có chỉ phương \(u\), mặt phẳng có pháp tuyến \(n\), thì \(u\cdot n=0\) là điều kiện hướng đường song song với mặt phẳng.
- Nếu \(u\cdot n\ne0\), đường thẳng cắt mặt phẳng tại một điểm.
- Nếu \(u\cdot n=0\) và một điểm của đường thuộc mặt phẳng, đường nằm trong mặt phẳng.
- Nếu \(u\cdot n=0\) nhưng điểm không thuộc mặt phẳng, đường song song và không nằm trong mặt phẳng.
Các công thức chỉ hiệu quả khi dùng đúng điều kiện. Với bài có tham số, căn, mẫu, logarit hoặc lượng giác, nên ghi điều kiện ngay từ đầu thay vì bổ sung sau khi đã biến đổi.
Phương pháp giải theo từng bước
- Lấy vectơ chỉ phương của đường và pháp tuyến của mặt phẳng.
- Tính tích vô hướng.
- Nếu tích khác 0, kết luận cắt; có thể thế tham số để tìm giao điểm.
- Nếu tích bằng 0, thế một điểm của đường vào phương trình mặt phẳng để phân biệt nằm trong hay song song.
Sau mỗi bước quan trọng, nên tự hỏi phép biến đổi có tương đương hay chỉ là điều kiện cần. Thói quen này đặc biệt hữu ích khi bình phương hai vế, nhân chia với biểu thức chưa biết dấu hoặc đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1
Bài toán: Đường d có chỉ phương \((1,0,1)\), mặt phẳng P có pháp tuyến \((1,2,-1)\). Xét hướng.
Lời giải: Tích vô hướng \(1+0-1=0\), nên d có hướng song song với P; cần kiểm tra thêm một điểm để biết d nằm trong P hay song song ngoài P.
Ví dụ 2
Bài toán: Nếu \(u\cdot n=3\ne0\), quan hệ là gì?
Lời giải: Đường thẳng cắt mặt phẳng tại đúng một điểm.
Lỗi thường gặp
- Tích vô hướng bằng 0 là kết luận ngay “đường song song mặt phẳng”, bỏ trường hợp đường nằm trong mặt phẳng.
- Dùng pháp tuyến của đường thẳng — khái niệm không được xác định duy nhất trong không gian.
- Thế sai phương trình tham số khi tìm giao điểm.
Nếu kết quả cuối là một khoảng nghiệm, một giá trị cực trị hoặc một số đo hình học, hãy kiểm tra nhanh bằng cách thế ngược, ước lượng hoặc đối chiếu với hình vẽ. Một bước kiểm tra ngắn thường phát hiện được lỗi dấu hoặc lỗi điều kiện.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Luôn tách bài thành “hướng” và “vị trí điểm”.
- Nếu cần giao điểm, sau khi biết chắc cắt mới giải tham số.
Trong bài tự luận, nên viết đủ điều kiện, công thức được sử dụng và kết luận. Không nên thay toàn bộ lập luận bằng kết quả máy tính cầm tay hoặc hình vẽ phần mềm.
Bài tự luyện
- Bài 1: u=(1,1,1), n=(1,-1,0). Tính u·n. Đáp án/Gợi ý: Bằng 0.
- Bài 2: Nếu u·n≠0 thì số giao điểm của đường với mặt phẳng? Đáp án/Gợi ý: Một giao điểm.
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Tọa độ Oxyz. Nên học bài P1 nền tảng trước, sau đó chuyển sang các dạng P2 để tăng khả năng nhận dạng và phối hợp phương pháp.