Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn được quyết định bằng khoảng cách từ tâm đến đường thẳng. Trường hợp tiếp xúc còn cho tính chất bán kính vuông góc với tiếp tuyến tại tiếp điểm.
Kiến thức trọng tâm
Ba vị trí
Gọi d là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng và R là bán kính. Nếu \(d<R\), đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm; \(d=R\), tiếp xúc tại một điểm; \(d>R\), không có điểm chung.
Tiếp tuyến
Tại tiếp điểm A, tiếp tuyến vuông góc với bán kính OA. Ngược lại, đường thẳng đi qua A thuộc đường tròn và vuông góc OA là tiếp tuyến tại A.
Hai tiếp tuyến từ một điểm
Từ điểm P nằm ngoài đường tròn, hai tiếp tuyến PA và PB có PA=PB. Đường OP là đường phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
Cách làm dạng bài cơ bản
- Kẻ OH vuông góc đường thẳng để có khoảng cách d=OH.
- So sánh d với R.
- Nếu là tiếp tuyến, khai thác vuông góc tại tiếp điểm và độ dài hai tiếp tuyến từ cùng một điểm.
Ví dụ minh họa
Đường tròn bán kính 5 cm, khoảng cách từ tâm đến đường thẳng là 5 cm. Vì \(d=R\), đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn.
Lỗi thường gặp
- So sánh R với một đoạn bất kì trên đường thẳng thay vì khoảng cách vuông góc từ tâm.
- Suy ra vuông góc tại một điểm không phải tiếp điểm.
- Dùng PA=PB khi P không phải điểm chung của hai tiếp tuyến.
Tự luyện
- R=4 cm, d=2 cm: đường thẳng và đường tròn có mấy điểm chung?
- R=3 cm, d=5 cm: xác định vị trí tương đối.
- Từ P kẻ hai tiếp tuyến PA, PB. Biết PA=7 cm, tính PB.
Ghi nhớ
Chỉ cần so sánh d và R là phân loại được cả ba vị trí tương đối.
Xem toàn bộ nội dung trong Chương 5. Đường tròn hoặc Lý thuyết Toán lớp 9 KNTT.