Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng tính góc, độ dài

Tích vô hướng nối đại số tọa độ với góc giữa hai hướng. Nó đặc biệt hữu ích để kiểm tra vuông góc, tính góc và suy ra độ dài qua các đẳng thức vectơ.

Kiến thức cốt lõi cần nắm

\(\vec u\cdot\vec v=|\vec u||\vec v|\cos\theta\).
Trong Oxy, với \(\vec u=(a,b),\vec v=(c,d)\), ta có \(\vec u\cdot\vec v=ac+bd\).
Hai vectơ khác 0 vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng bằng 0.
Góc giữa hai vectơ thỏa \(\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u||\vec v|}\), với \(0\le\theta\le\pi\).

Bài toán: Cho \(\vec u=(1,2),\vec v=(2,-1)\). Hai vectơ có vuông góc không?

Lời giải: \(\vec u\cdot\vec v=1\cdot2+2(-1)=0\), nên vuông góc.

Bài toán: Cho \(\vec u=(1,0),\vec v=(1,1)\). Tính góc.

Lời giải: \(\cos\theta=1/(1\cdot\sqrt2)=\sqrt2/2\), nên \(\theta=45^\circ\).

Dùng tích có hướng thay cho tích vô hướng trong bài Oxy cơ bản.
Quên chia cho tích độ dài khi tính cos góc.
Nhận góc \(315^\circ\) trong khi góc giữa hai vectơ được lấy từ 0 đến 180 độ.
Kết luận vuông góc khi một trong hai “vectơ” là vectơ 0 mà không xét ngữ nghĩa hình học.

Đã dùng đúng công thức tích vô hướng theo tọa độ hoặc theo độ dài–góc?
Khi tính góc, giá trị cos có nằm trong đoạn [-1,1] và đã chọn góc hình học phù hợp?
Nếu suy ra vuông góc, đã kiểm tra tích vô hướng bằng 0 với hai vectơ khác vectơ-không?

Nếu cần ôn cách biểu diễn và cộng trừ vectơ trước khi dùng tích vô hướng, xem vectơ và các phép toán vectơ.

Xem thêm các bài cùng nhóm Vectơ – Tọa độ Oxy.