Mặt cầu trong Oxyz là mở rộng trực tiếp của đường tròn trong Oxy. Dạng chuẩn cho phép đọc ngay tâm, bán kính; dạng khai triển được xử lý bằng hoàn thành bình phương theo ba biến.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Phương trình mặt phẳng trong Oxyz để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Dạng chuẩn: \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\), tâm \(I(a,b,c)\).
- Mặt cầu tâm I đi qua A có \(R^2=IA^2\).
- Dạng khai triển \(x^2+y^2+z^2+Dx+Ey+Fz+G=0\) có thể hoàn thành bình phương.
- Điều kiện mặt cầu thực là \(R^2>0\).
Các công thức chỉ hiệu quả khi dùng đúng điều kiện. Với bài có tham số, căn, mẫu, logarit hoặc lượng giác, nên ghi điều kiện ngay từ đầu thay vì bổ sung sau khi đã biến đổi.
Phương pháp giải theo từng bước
- Nếu biết tâm và bán kính, viết dạng chuẩn ngay.
- Nếu biết tâm và một điểm, tính bình phương khoảng cách.
- Nếu ở dạng khai triển, nhóm theo x, y, z và hoàn thành bình phương.
- Kiểm tra tâm bằng cách thay dấu đúng trong các ngoặc.
Sau mỗi bước quan trọng, nên tự hỏi phép biến đổi có tương đương hay chỉ là điều kiện cần. Thói quen này đặc biệt hữu ích khi bình phương hai vế, nhân chia với biểu thức chưa biết dấu hoặc đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1
Bài toán: Viết mặt cầu tâm \(I(1,-2,3)\), bán kính 4.
Lời giải: \((x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=16\).
Ví dụ 2
Bài toán: Mặt cầu tâm O đi qua \(A(1,2,2)\).
Lời giải: \(R^2=1+4+4=9\), nên \(x^2+y^2+z^2=9\).
Lỗi thường gặp
- Đọc sai dấu tọa độ tâm.
- Quên bình phương bán kính.
- Hoàn thành bình phương một biến nhưng quên cộng bù vào hằng số.
Nếu kết quả cuối là một khoảng nghiệm, một giá trị cực trị hoặc một số đo hình học, hãy kiểm tra nhanh bằng cách thế ngược, ước lượng hoặc đối chiếu với hình vẽ. Một bước kiểm tra ngắn thường phát hiện được lỗi dấu hoặc lỗi điều kiện.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Đối chiếu từng ngoặc với \(x-a,y-b,z-c\).
- Trong bài tiếp xúc, bán kính thường bằng khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng hoặc đường thích hợp.
Trong bài tự luận, nên viết đủ điều kiện, công thức được sử dụng và kết luận. Không nên thay toàn bộ lập luận bằng kết quả máy tính cầm tay hoặc hình vẽ phần mềm.
Bài tự luyện
- Bài 1: Tâm \((2,0,-1)\), bán kính 3. Đáp án/Gợi ý: \((x-2)^2+y^2+(z+1)^2=9\).
- Bài 2: Mặt cầu tâm O bán kính \(\sqrt5\). Đáp án/Gợi ý: \(x^2+y^2+z^2=5\).
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Tọa độ Oxyz. Nên học bài P1 nền tảng trước, sau đó chuyển sang các dạng P2 để tăng khả năng nhận dạng và phối hợp phương pháp.