Phương trình mặt phẳng trong Oxyz được quyết định bởi một vectơ pháp tuyến và một điểm thuộc mặt phẳng. Vì vậy mọi dạng bài nên quy về việc tìm hai dữ kiện này.
Kiến thức cốt lõi cần nắm
- Mặt phẳng có pháp tuyến \(\vec n=(A,B,C)\ne\vec0\) đi qua \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) có phương trình \(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\).
- Dạng tổng quát: \(Ax+By+Cz+D=0\), trong đó \(\vec n=(A,B,C)\).
- Nếu mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng, có thể lấy hai vectơ chỉ phương trong mặt rồi tìm một pháp tuyến vuông góc với cả hai.
- Hai mặt phẳng song song có các vectơ pháp tuyến cùng phương; vuông góc khi các pháp tuyến vuông góc.
Quy trình giải theo từng bước
- Tìm một điểm chắc chắn thuộc mặt phẳng.
- Tìm pháp tuyến từ dữ kiện: cho sẵn, vuông góc đường thẳng, song song mặt khác hoặc từ hai vectơ trong mặt.
- Viết phương trình điểm–pháp tuyến.
- Thế lại các điểm dữ kiện để kiểm tra.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Bài toán: Lập mặt phẳng qua \(M(1,2,3)\) có pháp tuyến \((2,-1,1)\).
Lời giải: \(2(x-1)-(y-2)+(z-3)=0\Rightarrow2x-y+z-3=0\).
Ví dụ 2
Bài toán: Mặt phẳng \((P):x+2y-2z+5=0\) có pháp tuyến nào?
Lời giải: Một pháp tuyến là \((1,2,-2)\).
Lỗi thường gặp và cách tránh
- Lấy một vectơ nằm trong mặt làm pháp tuyến.
- Ba hệ số A,B,C đồng thời bằng 0.
- Viết phương trình qua điểm nhưng thế sai dấu \(x-x_0\).
- Kết luận hai mặt song song chỉ vì cùng hệ số A mà không xét cả ba thành phần pháp tuyến.
Bài tập tự luyện
-
Qua O, pháp tuyến \((1,2,3)\)
Đáp số/Gợi ý: \(x+2y+3z=0\)
-
Pháp tuyến của \(2x-y+4z-7=0\)
Đáp số/Gợi ý: \((2,-1,4)\)
-
Điểm \((1,0,0)\) thuộc \(x+y+z=1\)?
Đáp số/Gợi ý: Có
-
Hai mặt \(x+y+z=0\) và \(2x+2y+2z=5\)
Đáp số/Gợi ý: Song song
Checklist trước khi kết luận
- Vectơ pháp tuyến đã thực sự vuông góc với mặt phẳng hoặc được suy ra từ hai vectơ chỉ phương nằm trong mặt phẳng?
- Phương trình mặt phẳng đã đi qua đúng điểm được cho?
- Sau khi lập phương trình, có thể thế các điểm dữ kiện để kiểm tra nhanh từng điều kiện?
Nếu cần xác định vectơ pháp tuyến từ tọa độ trước khi lập mặt phẳng, xem vectơ trong không gian Oxyz.
Xem thêm các bài cùng nhóm Tọa độ Oxyz.