Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng – Toán lớp 12

Giai đoạn 5 – Học kì II: Phương pháp tọa độ trong không gian

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng giúp học sinh lớp 12 nắm chắc phương pháp, luyện đúng dạng bài và trình bày lời giải theo chương trình Kết nối tri thức hiện hành.

Kiến thức cần ghi nhớ

• Đường thẳng và mặt phẳng có thể: nằm trong nhau, song song hoặc cắt nhau tại một điểm.
• Dùng vectơ chỉ phương $ec u$ của đường và pháp tuyến $ec n$ của mặt phẳng: nếu $ec u\cdotec n
  e0$ thì đường cắt mặt phẳng.
• Nếu $ec u\cdotec n=0$, đường song song mặt phẳng hoặc nằm trong mặt phẳng; kiểm tra một điểm của đường để phân biệt.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1

Đường $d$ có chỉ phương $(1;0;0)$, mặt phẳng $P:x+y+z=0$. Quan hệ?

Cách làm: $ec u\cdotec n=(1;0;0)\cdot(1;1;1)=1
e0$, nên $d$ cắt $(P)$.

Bài tập thực hành

Tự làm các bài dưới đây trước khi mở lời giải.

1. Nếu $ec u\cdotec n=0$ thì có chắc song song không?
2. Muốn phân biệt song song và nằm trong mặt phẳng cần làm gì?
3. Nếu đường vuông góc mặt phẳng, chỉ phương và pháp tuyến quan hệ gì?
4. Nếu tích vô hướng chỉ phương–pháp tuyến khác 0 thì sao?

Bài tập về nhà

1. Đường qua $O$ chỉ phương $(1;-1;0)$ với mặt phẳng $x+y+z=0$ có quan hệ gì?
2. Đường qua $(0;0;1)$ chỉ phương $(1;-1;0)$ với $x+y+z=0$?
3. Nêu ba vị trí đường–mặt.

Xem lời giải

Gợi ý học: Tự giải trước, sau đó mở lời giải để đối chiếu phương pháp, công thức và cách trình bày.