Khoảng cách và góc trong Oxyz quy về vectơ, tích vô hướng và phương trình mặt phẳng. Học theo cấu trúc thay vì nhớ rời rạc giúp dùng cùng một kỹ thuật cho nhiều bài.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Phương trình mặt phẳng trong Oxyz để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Khoảng cách từ \(M(x_0,y_0,z_0)\) đến \(Ax+By+Cz+D=0\): \(|Ax_0+By_0+Cz_0+D|/\sqrt{A^2+B^2+C^2}\).
- Góc giữa hai đường dùng hai vectơ chỉ phương.
- Góc giữa hai mặt phẳng dùng hai vectơ pháp tuyến.
- Góc giữa đường và mặt phẳng là góc phụ với góc giữa vectơ chỉ phương đường và pháp tuyến mặt phẳng.
Các công thức chỉ hiệu quả khi dùng đúng điều kiện. Với bài có tham số, căn, mẫu, logarit hoặc lượng giác, nên ghi điều kiện ngay từ đầu thay vì bổ sung sau khi đã biến đổi.
Phương pháp giải theo từng bước
- Xác định đúng hai đối tượng và chọn vectơ đại diện.
- Dùng tích vô hướng để tính cos của góc giữa hai vectơ.
- Với khoảng cách điểm–mặt, thế tọa độ vào công thức.
- Chọn góc nhọn theo quy ước khi đề hỏi góc giữa hai đường/hai mặt.
Sau mỗi bước quan trọng, nên tự hỏi phép biến đổi có tương đương hay chỉ là điều kiện cần. Thói quen này đặc biệt hữu ích khi bình phương hai vế, nhân chia với biểu thức chưa biết dấu hoặc đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1
Bài toán: Tính khoảng cách từ \(M(1,0,2)\) đến \(x+2y+2z-5=0\).
Lời giải: Tử số \(|1+0+4-5|=0\), nên khoảng cách bằng 0; M nằm trên mặt phẳng.
Ví dụ 2
Bài toán: Hai mặt phẳng có pháp tuyến \((1,0,0)\) và \((0,1,0)\).
Lời giải: Hai pháp tuyến vuông góc, nên hai mặt phẳng vuông góc.
Lỗi thường gặp
- Quên hệ số z trong mẫu căn khoảng cách.
- Nhầm góc đường–mặt với góc giữa chỉ phương và pháp tuyến.
- Không lấy giá trị tuyệt đối khi cần góc nhọn.
Nếu kết quả cuối là một khoảng nghiệm, một giá trị cực trị hoặc một số đo hình học, hãy kiểm tra nhanh bằng cách thế ngược, ước lượng hoặc đối chiếu với hình vẽ. Một bước kiểm tra ngắn thường phát hiện được lỗi dấu hoặc lỗi điều kiện.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Viết tên vectơ bên cạnh công thức cos để tránh dùng nhầm.
- Nếu điểm làm tử số khoảng cách bằng 0, nhận ra ngay điểm thuộc mặt phẳng.
Trong bài tự luận, nên viết đủ điều kiện, công thức được sử dụng và kết luận. Không nên thay toàn bộ lập luận bằng kết quả máy tính cầm tay hoặc hình vẽ phần mềm.
Bài tự luyện
- Bài 1: Khoảng cách từ O đến \(2x-y+2z-3=0\). Đáp án/Gợi ý: \(3/3=1\).
- Bài 2: Hai đường có chỉ phương \((1,1,0)\) và \((1,-1,0)\). Đáp án/Gợi ý: Vuông góc.
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Tọa độ Oxyz. Nên học bài P1 nền tảng trước, sau đó chuyển sang các dạng P2 để tăng khả năng nhận dạng và phối hợp phương pháp.