Vuông góc trong không gian cần tiêu chí mạnh hơn hình học phẳng. Đặc biệt, chứng minh một đường vuông góc mặt phẳng thường là “nút thắt” để suy ra nhiều quan hệ vuông góc khác.
Kiến thức cốt lõi cần nắm
- Đường thẳng \(d\) vuông góc mặt phẳng \((P)\) nếu \(d\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong \((P)\).
- Nếu \(d\perp(P)\) thì \(d\) vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong \((P)\).
- Hai mặt phẳng vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 90 độ; một tiêu chí thường dùng là một mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
- Định lý ba đường vuông góc giúp liên hệ đường xiên, hình chiếu và đường trong mặt phẳng.
Quy trình giải theo từng bước
- Để chứng minh đường–mặt, tìm hai đường cắt nhau trong mặt phẳng và chứng minh cùng vuông góc với đường cần xét.
- Để chứng minh mặt–mặt, cố tìm một đường trong mặt thứ nhất vuông góc mặt thứ hai.
- Khai thác hình chiếu vuông góc và các tam giác vuông.
- Ghi rõ chân đường vuông góc để tránh áp dụng định lý sai vị trí.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Bài toán: Nếu \(SA\perp AB\) và \(SA\perp AC\), với AB, AC cắt nhau trong \((ABC)\), kết luận gì?
Lời giải: Suy ra \(SA\perp(ABC)\).
Ví dụ 2
Bài toán: Nếu \(SA\perp(ABC)\) và \(AB\subset(ABC)\), AB đi qua A, kết luận gì?
Lời giải: \(SA\perp AB\).
Lỗi thường gặp và cách tránh
- Chứng minh đường vuông góc một đường trong mặt rồi kết luận vuông góc mặt.
- Hai đường chéo nhau không có góc 90 độ theo cách nhìn đơn giản trên hình chiếu.
- Không kiểm tra hai đường dùng để chứng minh đường–mặt có cắt nhau.
- Nhầm điều kiện mặt phẳng chứa một đường vuông góc với mặt kia.
Bài tập tự luyện
-
d vuông góc hai đường cắt nhau a,b trong (P)
Đáp số/Gợi ý: \(d\perp(P)\)
-
d vuông góc (P), a nằm trong (P) qua chân H
Đáp số/Gợi ý: \(d\perp a\)
-
Hai mặt phẳng song song có thể vuông góc nhau?
Đáp số/Gợi ý: Không
-
Một đường vuông góc mặt phẳng có vuông góc mọi đường trong mặt?
Đáp số/Gợi ý: Có. Nếu \(d\perp(P)\) thì \(d\) vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong \((P)\).
Checklist trước khi kết luận
- Đã xác định hai đường cắt nhau trong mặt phẳng khi dùng tiêu chí đường thẳng vuông góc mặt phẳng?
- Các quan hệ vuông góc suy ra đã dựa trên định lý hợp lệ chứ không chỉ dựa vào hình biểu diễn?
- Nếu dùng định lý ba đường vuông góc, đã xác định đúng hình chiếu của đường xiên?
Xem thêm các bài cùng nhóm Hình học không gian.
Xem thêm Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: cách xác định và tính để củng cố thêm quan hệ hình học không gian thường dùng cùng dạng này.