Vuông góc trong không gian cần tiêu chí mạnh hơn hình học phẳng. Đặc biệt, chứng minh một đường vuông góc mặt phẳng thường là “nút thắt” để suy ra nhiều quan hệ vuông góc khác.
Kiến thức cốt lõi cần nắm
- Đường thẳng \(d\) vuông góc mặt phẳng \((P)\) nếu \(d\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong \((P)\).
- Nếu \(d\perp(P)\) thì \(d\) vuông góc mọi đường thẳng trong \((P)\) đi qua chân vuông góc.
- Hai mặt phẳng vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 90 độ; một tiêu chí thường dùng là một mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
- Định lý ba đường vuông góc giúp liên hệ đường xiên, hình chiếu và đường trong mặt phẳng.
Điểm quan trọng là không tách công thức khỏi điều kiện áp dụng. Khi gặp bài mới, hãy xác định cấu trúc trước rồi mới chọn công cụ; cách này giúp giảm đáng kể các lỗi biến đổi theo thói quen.
Quy trình giải theo từng bước
- Để chứng minh đường–mặt, tìm hai đường cắt nhau trong mặt phẳng và chứng minh cùng vuông góc với đường cần xét.
- Để chứng minh mặt–mặt, cố tìm một đường trong mặt thứ nhất vuông góc mặt thứ hai.
- Khai thác hình chiếu vuông góc và các tam giác vuông.
- Ghi rõ chân đường vuông góc để tránh áp dụng định lý sai vị trí.
Nếu bài có nhiều dữ kiện, nên ghi các điều kiện ở đầu lời giải. Sau mỗi phép biến đổi có thể làm thay đổi miền nghiệm hoặc miền xác định, cần đánh dấu để đối chiếu ở cuối.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Bài toán: Nếu \(SA\perp AB\) và \(SA\perp AC\), với AB, AC cắt nhau trong \((ABC)\), kết luận gì?
Lời giải: Suy ra \(SA\perp(ABC)\).
Ví dụ 2
Bài toán: Nếu \(SA\perp(ABC)\) và \(AB\subset(ABC)\), AB đi qua A, kết luận gì?
Lời giải: \(SA\perp AB\).
Lỗi thường gặp và cách tránh
- Chứng minh đường vuông góc một đường trong mặt rồi kết luận vuông góc mặt.
- Hai đường chéo nhau không có góc 90 độ theo cách nhìn đơn giản trên hình chiếu.
- Không kiểm tra hai đường dùng để chứng minh đường–mặt có cắt nhau.
- Nhầm điều kiện mặt phẳng chứa một đường vuông góc với mặt kia.
Một cách tự kiểm tra hiệu quả là thử lại kết quả bằng dữ kiện ban đầu hoặc bằng một cách nhìn thứ hai như đồ thị, dấu của biểu thức hay tính chất hình học. Máy tính cầm tay chỉ nên dùng để kiểm tra số gần đúng, không thay thế bước lập luận khi đề yêu cầu lời giải.
Bài tập tự luyện
-
d vuông góc hai đường cắt nhau a,b trong (P)
Đáp số/Gợi ý: \(d\perp(P)\)
-
d vuông góc (P), a nằm trong (P) qua chân H
Đáp số/Gợi ý: \(d\perp a\)
-
Hai mặt phẳng song song có thể vuông góc nhau?
Đáp số/Gợi ý: Không
-
Một đường vuông góc mặt phẳng có vuông góc mọi đường trong mặt?
Đáp số/Gợi ý: Chỉ với đường qua chân vuông góc theo quan hệ cắt trực tiếp
Checklist trước khi kết luận
- Đã ghi đủ điều kiện xác định hoặc điều kiện của biến chưa?
- Công thức đang dùng có đúng dạng và đúng điều kiện không?
- Có phép chia, bình phương, lấy log hoặc đổi biến nào có thể sinh/mất nghiệm không?
- Kết quả cuối đã đúng đơn vị, đúng miền và đúng yêu cầu “chính xác” hay “gần đúng” của đề chưa?
Xem thêm các bài cùng nhóm Hình học không gian để luyện theo dạng thay vì học rời từng công thức.