Tối ưu thực tế bằng đạo hàm có ba phần: lập đúng hàm mục tiêu, xác định miền khả thi và tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất trên miền đó. Sai ở phần mô hình thì đạo hàm đúng vẫn cho đáp án sai.
Kiến thức cốt lõi cần nắm
- Lợi nhuận thường là \(P(x)=R(x)-C(x)\), trong đó R là doanh thu, C là chi phí.
- Tối ưu kích thước hình học thường dùng ràng buộc để biểu diễn mọi kích thước theo một biến.
- Nếu miền là đoạn đóng, cần so sánh giá trị tại điểm tới hạn và các đầu mút.
- Nghiệm tối ưu phải thỏa các điều kiện thực tế như dương, nguyên hoặc giới hạn công suất.
Quy trình giải theo từng bước
- Lập hàm mục tiêu và miền của biến.
- Tính đạo hàm, tìm các điểm tới hạn trong miền.
- So sánh giá trị hàm tại các ứng viên hợp lệ.
- Diễn giải kết quả theo đơn vị thực tế và làm tròn chỉ khi đề yêu cầu.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Bài toán: Hình chữ nhật chu vi 40 m có diện tích \(S=x(20-x)\). Tìm diện tích lớn nhất.
Lời giải: \(S’=20-2x=0\Rightarrow x=10\). Khi đó hình là hình vuông 10 m × 10 m, diện tích lớn nhất 100 m².
Ví dụ 2
Bài toán: Lợi nhuận \(P(x)=-2x^2+80x-300\), \(x\ge0\). Tìm mức x tối ưu.
Lời giải: \(P’=-4x+80=0\Rightarrow x=20\). Vì hệ số bậc hai âm, đây là điểm cực đại; \(P(20)=500\) theo đơn vị lợi nhuận của đề.
Lỗi thường gặp và cách tránh
- Tìm cực trị nhưng không kiểm tra đầu mút.
- Tối ưu một đại lượng không phải đại lượng đề hỏi.
- Nhận nghiệm ngoài miền khả thi.
- Làm tròn biến trước khi tính lại giá trị mục tiêu, gây sai số lớn hơn cần thiết.
Bài tập tự luyện
-
\(S=x(12-x),0\lt x\lt 12\), x tối ưu
Đáp số/Gợi ý: 6
-
\(P=-x^2+10x\), x tối ưu
Đáp số/Gợi ý: 5
-
Hình chữ nhật chu vi cố định tối đa diện tích khi
Đáp số/Gợi ý: Là hình vuông
-
Nếu điểm tới hạn ngoài miền
Đáp số/Gợi ý: Không dùng làm ứng viên tối ưu trong miền
Checklist trước khi kết luận
- Đã viết đúng hàm mục tiêu cần tối thiểu hoặc tối đa hóa và đầy đủ các ràng buộc?
- Miền xét cực trị có đúng với điều kiện thực tế của kích thước, sản lượng hoặc chi phí?
- Kết quả tối ưu đã được đổi về đúng đơn vị và so sánh với các trường hợp biên nếu cần?
Nếu bài toán thực tế dẫn đến hàm bậc hai thay vì hàm tổng quát, xem mô hình doanh thu, quỹ đạo và tối ưu bằng hàm bậc hai.
Xem thêm các bài cùng nhóm Toán thực tế – Mô hình hóa.