Bất phương trình nâng cao thường khó vì biểu thức nhiều lớp. Hai hướng phổ biến là đặt ẩn phụ để giảm độ phức tạp hoặc đánh giá từng phần bằng bất đẳng thức quen thuộc, nhưng mỗi phép đánh giá phải giữ được điều kiện xảy ra dấu bằng.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Chuyên đề bất đẳng thức THPT để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Ẩn phụ nên gom một cấu trúc lặp lại, chẳng hạn \(t=x+1/x\) khi \(x>0\).
- Nếu \(x>0\), AM-GM cho \(x+1/x\ge2\).
- Đánh giá “quá mạnh” có thể làm mất khả năng đạt dấu bằng và không chứng minh được kết quả sắc.
- Muốn tìm GTLN/GTNN bằng bất đẳng thức cần nêu điều kiện dấu bằng có thể xảy ra.
Phương pháp giải theo từng bước
- Xác định miền biến và cấu trúc lặp.
- Chọn ẩn phụ hoặc bất đẳng thức nền.
- Biến đổi mục tiêu về biểu thức đơn giản hơn.
- Theo dõi điều kiện dấu bằng qua từng bước và kết luận đầy đủ.
Ví dụ 1
Bài toán: Với \(x>0\), tìm GTNN của \(x+4/x\).
Lời giải: AM-GM: \(x+4/x\ge2\sqrt{4}=4\), dấu bằng khi \(x=2\). GTNN bằng 4.
Ví dụ 2
Bài toán: Với \(x>0\), đặt \(t=x+1/x\). Miền của t?
Lời giải: Theo AM-GM, \(t\ge2\). Miền này phải được giữ khi giải bất phương trình theo t.
Lỗi thường gặp
- Đặt ẩn phụ nhưng không xác định miền của ẩn mới.
- Dùng AM-GM cho các số không chắc dương.
- Chỉ chứng minh cận mà không chứng minh cận đạt được.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Trước khi dùng AM-GM, khoanh điều kiện dương của các hạng tử.
- Nếu bài hỏi giá trị nhỏ nhất, luôn thêm câu “dấu bằng khi…”.
Bài tự luyện
- Bài 1: Với x>0, GTNN của \(2x+8/x\). Đáp án/Gợi ý: 8, đạt khi x=2.
- Bài 2: Nếu t=x+1/x với x<0 thì t thuộc miền nào? Đáp án/Gợi ý: t≤-2.
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Học sinh giỏi & Toán nâng cao.