Giai đoạn 1 – Đầu học kì I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Kiến thức cần ghi nhớ
- Bài toán tối ưu thường gồm: chọn biến, lập miền điều kiện, biểu diễn đại lượng cần tối ưu thành hàm một biến, rồi tìm GTLN/GTNN.
- Điều kiện thực tế của biến phải được giữ khi xét đạo hàm; nghiệm đạo hàm ngoài miền điều kiện bị loại.
- Kết luận cần quay lại đơn vị và ý nghĩa thực tế, không dừng ở giá trị $x$.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1
Một hình chữ nhật có chu vi 20 m. Tìm kích thước để diện tích lớn nhất.
Cách làm: Gọi một cạnh là $x$ m, cạnh kia $10-x$ với $0lt xlt 10$. $S=x(10-x)=-x^2+10x$, đạt cực đại tại $x=5$. Vậy hình vuông cạnh 5 m có diện tích lớn nhất 25 m².
Bài tập thực hành
- Vì sao phải lập điều kiện cho biến?
- Cho $P(x)=-2x^2+40x-100$ trên $[0;20]$. Tìm GTLN.
- Nếu nghiệm $f'(x)=0$ không thuộc miền điều kiện thì xử lí thế nào?
- Kết luận bài tối ưu cần nêu những gì?
Bài tập về nhà
- Hình chữ nhật có tổng hai cạnh bằng 12. Tìm diện tích lớn nhất.
- Một hàm chi phí $C(x)=x^2-10x+40$ trên $[0;10]$. Tìm chi phí nhỏ nhất.
- Nêu bốn bước giải bài toán tối ưu.
Xem lời giải
Xem lời giải bài tập thực hành
- Cách làm: Vì kích thước, thời gian, số lượng… phải thỏa ý nghĩa thực tế; tối ưu ngoài miền đó không có giá trị.
- Cách làm: $P’=-4x+40=0$ tại $x=10$; so sánh với hai đầu mút, GTLN là $P(10)=100$.
- Cách làm: Loại nghiệm đó và tiếp tục xét các điểm tới hạn hợp lệ cùng biên miền.
- Cách làm: Giá trị biến tối ưu và giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của đại lượng thực tế, kèm đơn vị.
Xem lời giải bài tập về nhà
- Cách làm: $S=x(12-x)$ đạt lớn nhất tại $x=6$, nên diện tích lớn nhất $36$.
- Cách làm: $C’=2x-10=0$ tại $x=5$, khi đó $C(5)=15$, nhỏ hơn hai đầu mút.
- Cách làm: Chọn biến và điều kiện; lập hàm mục tiêu; dùng đạo hàm tìm cực trị/GTNN-GTLN; diễn giải kết quả thực tế.