Nhiều bài toán thực tiễn có thể chuyển thành bài toán tối ưu một đại lượng như diện tích, thể tích, chi phí, lợi nhuận, quãng đường hoặc thời gian. Đạo hàm là công cụ hiệu quả để tìm giá trị tối ưu đó.
1. Các bước mô hình hóa
- Chọn ẩn và ghi rõ đơn vị, điều kiện của ẩn.
- Biểu diễn đại lượng cần tối ưu theo ẩn, thu được hàm mục tiêu \(F(x)\).
- Xác định miền giá trị của \(x\) từ điều kiện thực tế.
- Dùng đạo hàm hoặc quy tắc tìm GTLN/GTNN để tối ưu \(F(x)\).
- Đối chiếu nghiệm với điều kiện và trả lời bằng ngôn ngữ của bài toán.
2. Ví dụ tối ưu diện tích
Một hình chữ nhật có chu vi \(20\) m. Gọi một cạnh là \(x\) m thì cạnh kia là \(10-x\) m, với \(0<x<10\). Diện tích:
\[S(x)=x(10-x)=10x-x^2.\]
Ta có \(S'(x)=10-2x\), do đó \(S'(x)=0\Leftrightarrow x=5\). Hàm tăng trước \(5\) và giảm sau \(5\), nên diện tích lớn nhất đạt được khi hai cạnh đều bằng \(5\) m. Diện tích lớn nhất là \(25\,m^2\).
3. Lưu ý khi giải bài thực tiễn
Không bỏ qua điều kiện của ẩn; một nghiệm đạo hàm có thể không có ý nghĩa vật lí. Nếu miền xét là đoạn đóng thì cần so sánh cả các đầu mút. Với bài toán có tham số, cần xác định rõ tham số nào cố định và đại lượng nào được thay đổi.
Ghi nhớ: bước quan trọng nhất thường là lập đúng hàm mục tiêu; đạo hàm chỉ phát huy tác dụng sau khi mô hình toán học đã đúng.
Xem thêm: Lý thuyết Toán 12 Kết nối tri thức – Chương 1 · Lý thuyết Toán lớp 12.