Giai đoạn 1 – Đầu học kì I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Kiến thức cần ghi nhớ
- Nếu $f'(x)>0$ trên một khoảng thì hàm số đồng biến trên khoảng đó; nếu $f'(x)\lt 0$ thì hàm số nghịch biến.
- Quy trình thường dùng: tìm tập xác định, tính $f'(x)$, giải $f'(x)=0$ hoặc tìm điểm $f’$ không xác định, lập bảng xét dấu.
- Kết luận khoảng đơn điệu phải viết theo các khoảng thuộc tập xác định.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1
Xét tính đơn điệu của $f(x)=x^3-3x$.
Cách làm: $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$. Đạo hàm dương khi $x\lt -1$ hoặc $x>1$, âm khi $-1\lt x\lt 1$. Vậy hàm số đồng biến trên $(-\infty;-1)$, $(1;+\infty)$ và nghịch biến trên $(-1;1)$.
Bài tập thực hành
- Xét tính đơn điệu của $f(x)=x^2-4x+1$.
- Xét $f(x)=-x^3+3x$.
- Xét $f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}$.
- Muốn kết luận hàm đồng biến chỉ từ $f'(x)\ge0$ cần chú ý gì?
Bài tập về nhà
- Xét $f(x)=x^3+3x^2$.
- Xét $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+2}$.
- Nêu ba bước chính khi xét đơn điệu.
Xem lời giải
Xem lời giải bài tập thực hành
- Cách làm: $f'(x)=2x-4$. Đạo hàm âm khi $x\lt 2$, dương khi $x>2$, nên hàm nghịch biến trên $(-\infty;2)$ và đồng biến trên $(2;+\infty)$.
- Cách làm: $f'(x)=3(1-x^2)$. Đạo hàm dương trên $(-1;1)$ và âm ngoài khoảng đó, nên hàm đồng biến trên $(-1;1)$ và nghịch biến trên $(-\infty;-1)$, $(1;+\infty)$.
- Cách làm: $f'(x)=\dfrac{-2}{(x-1)^2}\lt 0$ với $x\ne1$. Hàm nghịch biến trên $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$.
- Cách làm: Cần xét trên một khoảng và kiểm tra đạo hàm chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm hoặc không làm mất tính đồng biến; không kết luận qua điểm gián đoạn.
Xem lời giải bài tập về nhà
- Cách làm: $f'(x)=3x(x+2)$. Lập bảng dấu để được đồng biến trên $(-\infty;-2)$, $(0;+\infty)$ và nghịch biến trên $(-2;0)$.
- Cách làm: $f'(x)=\dfrac{5}{(x+2)^2}>0$ với $x\ne-2$, nên đồng biến trên từng khoảng $(-\infty;-2)$ và $(-2;+\infty)$.
- Cách làm: Tìm tập xác định; tính và xét dấu đạo hàm; kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến.