Xét tính đơn điệu là quy trình dùng dấu của đạo hàm. Với bài có tham số, trọng tâm chuyển sang điều kiện để \(f'(x)\) không đổi dấu trên khoảng hoặc miền yêu cầu.
Kiến thức cốt lõi cần nắm
- Nếu \(f'(x)>0\) trên một khoảng thì hàm đồng biến trên khoảng đó; nếu \(f'(x)\lt 0\) thì nghịch biến.
- Các nghiệm của \(f'(x)=0\) và điểm đạo hàm không xác định là mốc chia khoảng xét dấu.
- Bảng biến thiên ghi đồng thời dấu \(f’\), chiều biến thiên và giá trị của hàm tại các mốc quan trọng.
- Bài tham số thường quy về yêu cầu một tam thức, tích hoặc phân thức theo \(x\) có dấu cố định trên một tập.
Quy trình giải theo từng bước
- Tìm tập xác định của hàm số.
- Tính và phân tích \(f'(x)\).
- Tìm các mốc, lập bảng dấu đạo hàm rồi suy ra khoảng đơn điệu.
- Với tham số, dịch yêu cầu đơn điệu thành điều kiện dấu của \(f’\), sau đó giải điều kiện theo tham số.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Bài toán: Xét đơn điệu của \(f(x)=x^3-3x\).
Lời giải: \(f'(x)=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)\). Hàm đồng biến trên \(( -\infty;-1)\) và \((1;+\infty)\), nghịch biến trên \((-1;1)\).
Ví dụ 2
Bài toán: Tìm \(m\) để \(f(x)=x^3+mx\) đồng biến trên \(\mathbb R\).
Lời giải: \(f'(x)=3x^2+m\). Để \(f'(x)\ge0\) với mọi \(x\), cần và đủ \(m\ge0\).
Lỗi thường gặp và cách tránh
- Chỉ giải \(f'(x)>0\) mà quên miền xác định của hàm.
- Cho rằng đạo hàm bằng 0 tại một điểm làm hàm không còn đồng biến; cần xét dấu trên cả khoảng.
- Sai bảng dấu của tam thức do không xét hệ số đầu.
- Trong bài tham số, biến điều kiện “đồng biến” thành \(f’>0\) mọi điểm một cách quá cứng; nhiều trường hợp \(f’\ge0\) và chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm vẫn đủ.
Bài tập tự luyện
-
\(f=x^2-4x\), khoảng đồng biến
Đáp số/Gợi ý: \((2;+\infty)\)
-
\(f=-x^2+2x\), khoảng nghịch biến
Đáp số/Gợi ý: \((1;+\infty)\)
-
\(f=x^3\), đồng biến?
Đáp số/Gợi ý: Đồng biến trên \(\mathbb R\)
-
\(f=x^3+mx\) nghịch biến trên \(\mathbb R\)?
Đáp số/Gợi ý: Không có \(m\) vì \(3x^2+m\) không thể luôn không dương khi \(|x|\to\infty\).
Checklist trước khi kết luận
- Đã xác định miền xác định và các điểm làm đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định?
- Bảng xét dấu của đạo hàm có đầy đủ các khoảng do các điểm tới hạn chia ra?
- Kết luận đồng biến, nghịch biến và điều kiện tham số đã bám đúng dấu của đạo hàm trên từng khoảng?
Từ bảng biến thiên, bước tiếp theo thường là nhận dạng cực trị của hàm số.
Xem thêm các bài cùng nhóm Đạo hàm – Khảo sát hàm số.