Giai đoạn 4 – Đầu học kì II: Nguyên hàm và tích phân
Kiến thức cần ghi nhớ
- Khi quay miền dưới đồ thị $y=f(x)\ge0$ trên $[a;b]$ quanh trục $Ox$, thể tích là $V=\pi\int_a^b[f(x)]^2dx$.
- Bán kính mặt cắt tròn tại $x$ là $|f(x)|$; bình phương khiến công thức không phụ thuộc dấu của $f$.
- Phải xác định đúng trục quay và cận trước khi áp dụng công thức.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1
Quay miền dưới $y=x$ trên $[0;1]$ quanh $Ox$. Tính thể tích.
Cách làm: $V=\pi\int_0^1x^2dx=\dfrac{\pi}{3}$.
Bài tập thực hành
- Quay miền dưới $y=2$ trên $[0;3]$ quanh $Ox$.
- Công thức khối tròn xoay quanh $Ox$?
- Tại sao phải bình phương $f(x)$?
- Đơn vị của kết quả là gì?
Bài tập về nhà
- Quay $y=\sqrt{x}$ trên $[0;4]$ quanh $Ox$.
- Quay $y=x^2$ trên $[0;1]$ quanh $Ox$.
- Nêu ba bước tính thể tích tròn xoay.
Xem lời giải
Xem lời giải bài tập thực hành
- Cách làm: $V=\pi\int_0^3 4dx=12\pi$.
- Cách làm: $V=\pi\int_a^b[f(x)]^2dx$.
- Cách làm: Diện tích mặt cắt là diện tích hình tròn $\pi r^2$ với $r=|f(x)|$.
- Cách làm: Đơn vị thể tích.
Xem lời giải bài tập về nhà
- Cách làm: $V=\pi\int_0^4x\,dx=8\pi$.
- Cách làm: $V=\pi\int_0^1x^4dx=\dfrac{\pi}{5}$.
- Cách làm: Xác định bán kính mặt cắt; lập $\pi f^2(x)$; tích phân trên cận phù hợp.