Thể tích vật thể tròn xoay là ứng dụng hình học quan trọng của tích phân. Điều khó nhất thường là chọn đúng bán kính của thiết diện tròn hoặc vành khăn khi miền phẳng quay quanh một trục.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Bảng nguyên hàm cơ bản để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Quay miền dưới \(y=f(x)\ge0\) quanh trục \(Ox\) trên \([a,b]\): \(V=\pi\int_a^b[f(x)]^2dx\).
- Nếu thiết diện là vành khăn có bán kính ngoài \(R(x)\), trong \(r(x)\), thì \(V=\pi\int(R^2-r^2)dx\).
- Bán kính là khoảng cách từ đường biên đến trục quay, không luôn bằng chính hàm số nếu trục quay bị dịch.
- Đơn vị thể tích là đơn vị độ dài lập phương.
Các công thức chỉ hiệu quả khi dùng đúng điều kiện. Với bài có tham số, căn, mẫu, logarit hoặc lượng giác, nên ghi điều kiện ngay từ đầu thay vì bổ sung sau khi đã biến đổi.
Phương pháp giải theo từng bước
- Vẽ miền và trục quay.
- Biểu diễn bán kính ngoài, bán kính trong theo biến tích phân.
- Xác định cận từ miền phẳng.
- Lập tích phân diện tích thiết diện rồi tính.
Sau mỗi bước quan trọng, nên tự hỏi phép biến đổi có tương đương hay chỉ là điều kiện cần. Thói quen này đặc biệt hữu ích khi bình phương hai vế, nhân chia với biểu thức chưa biết dấu hoặc đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1
Bài toán: Quay miền dưới \(y=x\), \(0\le x\le1\), quanh \(Ox\).
Lời giải: Thiết diện là đĩa bán kính \(x\). \(V=\pi\int_0^1x^2dx=\pi/3\).
Ví dụ 2
Bài toán: Quay miền giữa \(y=2\) và \(y=x\) trên \([0,1]\) quanh \(Ox\).
Lời giải: Bán kính ngoài 2, trong \(x\). \(V=\pi\int_0^1(4-x^2)dx=11\pi/3\).
Lỗi thường gặp
- Quên bình phương bán kính.
- Nhầm diện tích với thể tích, bỏ hệ số \(\pi\).
- Dùng hàm trên trừ hàm dưới rồi bình phương thay vì hiệu hai bình phương trong trường hợp vành khăn.
Nếu kết quả cuối là một khoảng nghiệm, một giá trị cực trị hoặc một số đo hình học, hãy kiểm tra nhanh bằng cách thế ngược, ước lượng hoặc đối chiếu với hình vẽ. Một bước kiểm tra ngắn thường phát hiện được lỗi dấu hoặc lỗi điều kiện.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Kiểm tra thứ nguyên: nếu biểu thức cuối còn đơn vị chiều dài bình phương thì có thể bạn đang tính diện tích.
- Với trục quay không phải trục tọa độ, hãy viết khoảng cách đến trục trước.
Trong bài tự luận, nên viết đủ điều kiện, công thức được sử dụng và kết luận. Không nên thay toàn bộ lập luận bằng kết quả máy tính cầm tay hoặc hình vẽ phần mềm.
Bài tự luyện
- Bài 1: Quay miền dưới \(y=\sqrt{x}\), \(0\le x\le4\), quanh \(Ox\). Đáp án/Gợi ý: \(V=\pi\int_0^4x\,dx=8\pi\).
- Bài 2: Quay hình chữ nhật \(0\le x\le2,0\le y\le3\) quanh \(Ox\). Đáp án/Gợi ý: \(V=\pi\int_0^2 9dx=18\pi\).
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Nguyên hàm – Tích phân. Nên học bài P1 nền tảng trước, sau đó chuyển sang các dạng P2 để tăng khả năng nhận dạng và phối hợp phương pháp.