Các quá trình tăng theo tỉ lệ phần trăm trên chính giá trị hiện có thường dẫn tới hàm mũ. Cần phân biệt tăng đơn với tăng kép, và phân biệt tỉ lệ theo kỳ với tỉ lệ theo năm.
Kiến thức cốt lõi cần nắm
- Tăng trưởng rời rạc với tỉ lệ \(r\) mỗi kỳ: \(A_n=A_0(1+r)^n\).
- Giảm \(r\) mỗi kỳ: \(A_n=A_0(1-r)^n\), với \(0
- Lãi kép dùng cùng mô hình; nếu ghép lãi \(m\) lần/năm với lãi suất danh nghĩa \(r\), mô hình phổ biến là \(A=P(1+r/m)^{mt}\).
- Khi cần tìm thời gian, dùng logarit sau khi cô lập lũy thừa.
Điểm quan trọng là không tách công thức khỏi điều kiện áp dụng. Khi gặp bài mới, hãy xác định cấu trúc trước rồi mới chọn công cụ; cách này giúp giảm đáng kể các lỗi biến đổi theo thói quen.
Quy trình giải theo từng bước
- Đổi phần trăm thành số thập phân, ví dụ 5% = 0,05.
- Xác định một kỳ là tháng, quý hay năm và thống nhất với số mũ.
- Lập công thức trước rồi mới thay số.
- Nếu tìm số kỳ nguyên tối thiểu, giải bất phương trình logarit và làm tròn theo đúng ý nghĩa “đủ ít nhất”.
Nếu bài có nhiều dữ kiện, nên ghi các điều kiện ở đầu lời giải. Sau mỗi phép biến đổi có thể làm thay đổi miền nghiệm hoặc miền xác định, cần đánh dấu để đối chiếu ở cuối.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Bài toán: Gửi 100 triệu đồng, lãi kép 6%/năm, sau 3 năm có bao nhiêu?
Lời giải: \(A=100(1.06)^3\approx119.1016\) triệu đồng, nếu không có gửi/rút thêm và lãi ghép hằng năm.
Ví dụ 2
Bài toán: Dân số ban đầu 50 000, tăng 2% mỗi năm. Sau 5 năm theo mô hình mũ?
Lời giải: \(P=50000(1.02)^5\approx55204\) người; đây là giá trị mô hình, việc làm tròn cần theo yêu cầu thực tế.
Lỗi thường gặp và cách tránh
- Dùng \(A=A_0(1+nr)\) cho lãi kép; đó là mô hình lãi đơn.
- Dùng 5 thay cho 0,05 khi lãi suất 5%.
- Số mũ tính theo tháng nhưng r lại là lãi suất năm.
- Làm tròn sau mỗi kỳ thay vì giữ đủ độ chính xác đến cuối nếu đề không yêu cầu.
Một cách tự kiểm tra hiệu quả là thử lại kết quả bằng dữ kiện ban đầu hoặc bằng một cách nhìn thứ hai như đồ thị, dấu của biểu thức hay tính chất hình học. Máy tính cầm tay chỉ nên dùng để kiểm tra số gần đúng, không thay thế bước lập luận khi đề yêu cầu lời giải.
Bài tập tự luyện
-
100 tăng 10% một kỳ
Đáp số/Gợi ý: 110
-
100 tăng 10% hai kỳ kép
Đáp số/Gợi ý: 121
-
200 giảm 5% một kỳ
Đáp số/Gợi ý: 190
-
Công thức gấp đôi với r mỗi kỳ
Đáp số/Gợi ý: Giải \((1+r)^n\ge2\)
Checklist trước khi kết luận
- Đã ghi đủ điều kiện xác định hoặc điều kiện của biến chưa?
- Công thức đang dùng có đúng dạng và đúng điều kiện không?
- Có phép chia, bình phương, lấy log hoặc đổi biến nào có thể sinh/mất nghiệm không?
- Kết quả cuối đã đúng đơn vị, đúng miền và đúng yêu cầu “chính xác” hay “gần đúng” của đề chưa?
Xem thêm các bài cùng nhóm Toán thực tế – Mô hình hóa để luyện theo dạng thay vì học rời từng công thức.