Tích phân từng phần phù hợp với tích của hai dạng mà đổi biến không đơn giản. Công thức \(\int u\,dv=uv-\int v\,du\) chỉ có lợi khi lựa chọn \(u\) làm phần còn lại đơn giản hơn sau khi đạo hàm.
Kiến thức cốt lõi cần nắm
- Các ứng viên thường chọn làm \(u\): logarit, hàm ngược, đa thức; phần còn lại làm \(dv\).
- Với tích \(x e^x\), chọn \(u=x\) vì đạo hàm thành 1, còn \(dv=e^x dx\) tích phân dễ.
- Với \(\int\ln xdx\), có thể coi là \(\int 1\cdot\ln xdx\), chọn \(u=\ln x,dv=dx\).
- Một số tích phân cần từng phần hai lần hoặc tạo phương trình chứa chính tích phân ban đầu.
Quy trình giải theo từng bước
- Chọn \(u\) sao cho \(du\) đơn giản hơn.
- Chọn \(dv\) sao cho tìm \(v\) dễ.
- Viết rõ bảng \(u,du,dv,v\) trước khi thế công thức.
- Kiểm tra dấu trừ và hằng số sau khi tính.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Bài toán: Tính \(\int xe^x dx\).
Lời giải: Chọn \(u=x,dv=e^x dx\), suy ra \(du=dx,v=e^x\). Vậy \(\int xe^x dx=xe^x-\int e^x dx=e^x(x-1)+C\).
Ví dụ 2
Bài toán: Tính \(\int\ln xdx\), \(x>0\).
Lời giải: Chọn \(u=\ln x,dv=dx\), nên \(du=dx/x,v=x\). Kết quả \(x\ln x-x+C\).
Lỗi thường gặp và cách tránh
- Chọn \(u=e^x\), \(dv=x dx\) cho \(xe^x\) khiến tích phân mới phức tạp hơn.
- Nhầm công thức thành \(uv+\int vdu\).
- Tìm sai \(v\) từ \(dv\).
- Quên điều kiện \(x>0\) khi dùng \(\ln x\).
Bài tập tự luyện
-
\(\int x\cos xdx\)
Đáp số/Gợi ý: \(x\sin x+\cos x+C\)
-
\(\int xe^{2x}dx\)
Đáp số/Gợi ý: \(e^{2x}(x/2-1/4)+C\)
-
\(\int_1^e\ln xdx\)
Đáp số/Gợi ý: 1
-
\(\int x\sin xdx\)
Đáp số/Gợi ý: \(-x\cos x+\sin x+C\)
Checklist trước khi kết luận
- Đã chọn u là phần trở nên đơn giản khi đạo hàm và dv là phần dễ lấy nguyên hàm?
- Công thức tích phân từng phần đã đúng dấu: ∫u dv = uv − ∫v du?
- Nếu phải lặp lại từng phần, mỗi bước đã giảm độ phức tạp của tích phân?
Xem thêm các bài cùng nhóm Nguyên hàm – Tích phân.
Xem thêm Tích phân xác định: tính chất và cách tính nhanh để nối tiếp phương pháp nguyên hàm – tích phân trong cùng mạch kiến thức.