Cấp số nhân mô tả một đại lượng thay đổi theo cùng một tỉ lệ qua mỗi bước. Ngoài bài tính số hạng và tổng, dạng này còn xuất hiện trong tăng trưởng, lãi suất và các quá trình lặp.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Cấp số nhân có \(u_{n+1}=q u_n\), trong đó \(q\) là công bội.
- Số hạng tổng quát: \(u_n=u_1q^{n-1}\).
- Nếu \(q\ne1\), tổng \(n\) số hạng đầu là \(S_n=u_1(q^n-1)/(q-1)\).
- Dấu của các số hạng phụ thuộc vào \(u_1\) và công bội; khi \(q<0\), dấu thường luân phiên.
Các công thức chỉ hiệu quả khi dùng đúng điều kiện. Với bài có tham số, căn, mẫu, logarit hoặc lượng giác, nên ghi điều kiện ngay từ đầu thay vì bổ sung sau khi đã biến đổi.
Phương pháp giải theo từng bước
- Xác định \(u_1\), \(q\) và chỉ số cần tìm.
- Dùng công thức số hạng nếu bài hỏi một vị trí cụ thể.
- Dùng công thức tổng nếu bài cộng nhiều giai đoạn.
- Trong bài thực tế, xác định rõ thời điểm ban đầu và số lần nhân với hệ số tăng/giảm.
Sau mỗi bước quan trọng, nên tự hỏi phép biến đổi có tương đương hay chỉ là điều kiện cần. Thói quen này đặc biệt hữu ích khi bình phương hai vế, nhân chia với biểu thức chưa biết dấu hoặc đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1
Bài toán: Cho cấp số nhân \(u_1=3,q=2\). Tính \(u_6\).
Lời giải: \(u_6=3\cdot2^5=96\).
Ví dụ 2
Bài toán: Một khoản tiền 10 triệu đồng tăng 5% mỗi năm và không rút lãi. Mô hình giá trị sau 3 năm.
Lời giải: Mỗi năm nhân với \(1,05\). Sau 3 năm: \(10\cdot1,05^3\) triệu đồng.
Lỗi thường gặp
- Nhầm số mũ \(n\) với \(n-1\) trong công thức số hạng.
- Dùng công thức tổng khi \(q=1\) mà không xử lý riêng.
- Trong bài phần trăm, dùng 5 thay vì 0,05 hoặc 1,05.
Nếu kết quả cuối là một khoảng nghiệm, một giá trị cực trị hoặc một số đo hình học, hãy kiểm tra nhanh bằng cách thế ngược, ước lượng hoặc đối chiếu với hình vẽ. Một bước kiểm tra ngắn thường phát hiện được lỗi dấu hoặc lỗi điều kiện.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Kiểm tra vài số hạng đầu bằng truy hồi để phát hiện sai số mũ.
- Với bài tăng/giảm %, hãy viết hệ số nhân trước khi lập công thức.
Trong bài tự luận, nên viết đủ điều kiện, công thức được sử dụng và kết luận. Không nên thay toàn bộ lập luận bằng kết quả máy tính cầm tay hoặc hình vẽ phần mềm.
Bài tự luyện
- Bài 1: Cho \(u_1=2,q=3\). Tính \(S_5\). Đáp án/Gợi ý: \(S_5=2(3^5-1)/(3-1)=242\).
- Bài 2: Biết \(u_2=6,u_5=162\) và \(q>0\). Tìm \(q\). Đáp án/Gợi ý: \(q^3=27\), nên \(q=3\).
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Dãy số – Giới hạn – Liên tục. Nên học bài P1 nền tảng trước, sau đó chuyển sang các dạng P2 để tăng khả năng nhận dạng và phối hợp phương pháp.