Lãi kép là bài toán tài chính trong đó tiền lãi của mỗi kỳ được nhập vào vốn để tiếp tục sinh lãi ở kỳ sau. Bài này chỉ tập trung vào gửi tiền, lãi nhập gốc, số kỳ và lãi suất theo kỳ; các mô hình dân số hay suy giảm theo phần trăm được trình bày riêng ở bài toán tăng trưởng bằng hàm mũ.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Công thức lũy thừa và logarit để nắm cách biến đổi khi cần tìm số kỳ hoặc lãi suất.
Kiến thức cần nhớ
- Vốn ban đầu \(P\), lãi suất mỗi kỳ \(r\), sau \(n\) kỳ không gửi thêm và không rút lãi: \(A=P(1+r)^n\).
- Lãi suất phần trăm phải đổi về số thập phân: 6% = 0,06; 0,5% = 0,005.
- Nếu lãi suất đã cho theo tháng thì số mũ phải là số tháng. Nếu lãi suất theo năm và nhập lãi hằng năm thì số mũ là số năm.
- Trong mô hình lãi suất danh nghĩa \(r\) ghép \(m\) lần mỗi năm, công thức thường dùng là \(A=P\left(1+\dfrac rm\right)^{mt}\), với \(t\) tính theo năm.
Phương pháp giải theo từng bước
- Xác định vốn ban đầu và thời điểm bắt đầu tính lãi.
- Xác định lãi suất theo đúng một kỳ nhập lãi.
- Đếm số kỳ thực tế rồi lập \(A=P(1+r)^n\).
- Nếu tìm số kỳ, cô lập \((1+r)^n\), dùng logarit và làm tròn lên khi đề hỏi số kỳ tối thiểu.
- Chỉ làm tròn tiền ở bước cuối, trừ khi đề quy định cách làm tròn theo từng kỳ.
Ví dụ 1: tính số tiền cuối kỳ
Bài toán: Gửi 50 triệu đồng với lãi suất 6%/năm, lãi nhập gốc hằng năm. Tính số tiền sau 2 năm.
Lời giải: \(A=50(1,06)^2=56,18\) triệu đồng.
Ví dụ 2: lãi nhập gốc theo tháng
Bài toán: Gửi 100 triệu đồng với lãi suất 0,5%/tháng trong 12 tháng, không rút tiền. Tính số tiền cuối kỳ.
Lời giải: \(A=100(1,005)^{12}\approx106,168\) triệu đồng.
Ví dụ 3: tìm số năm tối thiểu
Bài toán: Một khoản tiền được hưởng lãi kép 7%/năm. Hỏi ít nhất bao nhiêu năm để số tiền đạt 1,5 lần vốn ban đầu?
Lời giải: Cần \((1,07)^n\ge1,5\). Suy ra \(n\ge\dfrac{\ln1,5}{\ln1,07}\approx5,993\). Vì \(n\) là số năm nguyên và cần đạt ít nhất 1,5 lần vốn nên chọn \(n=6\).
Lỗi thường gặp
- Dùng \(P(1+nr)\) cho lãi kép; biểu thức này thuộc mô hình lãi đơn.
- Lấy lãi suất năm nhưng số mũ lại là số tháng mà chưa quy đổi mô hình.
- Dùng 0,5 thay cho 0,005 khi đề cho 0,5%.
- Làm tròn sau mỗi phép tính trung gian khiến đáp số cuối bị lệch.
Bài tự luyện
- Bài 1: Gửi 80 triệu đồng, lãi 0,6%/tháng trong 10 tháng. Viết biểu thức số tiền cuối kỳ. Đáp án/Gợi ý: \(80(1,006)^{10}\) triệu đồng.
- Bài 2: Vốn ban đầu 120 triệu đồng, lãi kép 5%/năm trong 4 năm. Đáp án/Gợi ý: \(120(1,05)^4\) triệu đồng.
- Bài 3: Lãi kép 8%/năm. Tìm số năm tối thiểu để vốn tăng ít nhất 25%. Đáp án/Gợi ý: giải \((1,08)^n\ge1,25\) rồi làm tròn lên.
Phân biệt với bài toán tăng trưởng tổng quát
Nếu đại lượng là dân số, số lượng sinh vật, sản lượng hoặc giá trị suy giảm theo phần trăm, xem bài toán tăng trưởng và giảm theo hàm mũ. Việc tách hai nhóm giúp chọn đúng đơn vị kỳ và tránh đưa quy ước tài chính vào bài mô hình hóa thông thường.
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Mũ – Logarit.