Lãi kép là ví dụ điển hình của mô hình hàm mũ: sau mỗi kỳ, giá trị mới bằng giá trị cũ nhân với cùng một hệ số. Hiểu đúng số kỳ và lãi suất theo kỳ quan trọng hơn việc bấm máy.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Công thức lũy thừa và logarit để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Nếu vốn ban đầu là \(P\), lãi suất mỗi kỳ là \(r\), sau \(n\) kỳ không rút lãi: \(A=P(1+r)^n\).
- Nếu giảm theo tỉ lệ \(r\), hệ số thường là \(1-r\).
- Lãi suất phần trăm phải đổi về số thập phân: 6% = 0,06.
- Nếu ghép nhiều giai đoạn với lãi suất khác nhau, nhân lần lượt các hệ số của từng giai đoạn.
Các công thức chỉ hiệu quả khi dùng đúng điều kiện. Với bài có tham số, căn, mẫu, logarit hoặc lượng giác, nên ghi điều kiện ngay từ đầu thay vì bổ sung sau khi đã biến đổi.
Phương pháp giải theo từng bước
- Xác định đơn vị thời gian của lãi suất và số kỳ thực tế.
- Viết hệ số tăng \(1+r\) trước khi thế số.
- Lập mô hình mũ, sau đó mới tính bằng máy.
- Kiểm tra kết quả phải lớn hơn vốn ban đầu nếu lãi suất dương và không rút tiền.
Sau mỗi bước quan trọng, nên tự hỏi phép biến đổi có tương đương hay chỉ là điều kiện cần. Thói quen này đặc biệt hữu ích khi bình phương hai vế, nhân chia với biểu thức chưa biết dấu hoặc đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1
Bài toán: Gửi 50 triệu đồng với lãi suất 6%/năm, lãi nhập gốc hằng năm. Tính số tiền sau 2 năm.
Lời giải: \(A=50(1,06)^2=56,18\) triệu đồng.
Ví dụ 2
Bài toán: Một quần thể 2000 cá thể tăng 4% mỗi năm. Mô hình sau \(n\) năm.
Lời giải: Mỗi năm nhân 1,04 nên \(N_n=2000(1,04)^n\).
Lỗi thường gặp
- Nhân vốn với \(1+nr\), đó là mô hình lãi đơn chứ không phải lãi kép.
- Nhầm số tháng với số năm khi lãi suất theo tháng.
- Làm tròn quá sớm khiến sai đáp số cuối.
Nếu kết quả cuối là một khoảng nghiệm, một giá trị cực trị hoặc một số đo hình học, hãy kiểm tra nhanh bằng cách thế ngược, ước lượng hoặc đối chiếu với hình vẽ. Một bước kiểm tra ngắn thường phát hiện được lỗi dấu hoặc lỗi điều kiện.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Giữ nhiều chữ số trong máy và chỉ làm tròn ở kết quả cuối.
- Nếu lãi nhập gốc theo tháng, số mũ phải là số tháng, không phải số năm.
Trong bài tự luận, nên viết đủ điều kiện, công thức được sử dụng và kết luận. Không nên thay toàn bộ lập luận bằng kết quả máy tính cầm tay hoặc hình vẽ phần mềm.
Bài tự luyện
- Bài 1: Gửi 100 triệu với 0,5%/tháng trong 12 tháng. Viết biểu thức số tiền cuối kỳ. Đáp án/Gợi ý: \(100(1,005)^{12}\) triệu đồng.
- Bài 2: Một thiết bị mất 8% giá trị mỗi năm. Mô hình giá trị sau \(n\) năm nếu ban đầu 500 triệu. Đáp án/Gợi ý: \(500(0,92)^n\) triệu đồng.
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Mũ – Logarit. Nên học bài P1 nền tảng trước, sau đó chuyển sang các dạng P2 để tăng khả năng nhận dạng và phối hợp phương pháp.