Giai đoạn 4 – Đầu học kì II: Nguyên hàm và tích phân
Thể tích khối tròn xoay giúp học sinh lớp 12 nắm chắc phương pháp, luyện đúng dạng bài và trình bày lời giải theo chương trình Kết nối tri thức hiện hành.
Kiến thức cần ghi nhớ
- Khi quay miền dưới đồ thị $y=f(x)\ge0$ trên $[a;b]$ quanh trục $Ox$, thể tích là $V=\pi\int_a^b[f(x)]^2dx$.
- Bán kính mặt cắt tròn tại $x$ là $|f(x)|$; bình phương khiến công thức không phụ thuộc dấu của $f$.
- Phải xác định đúng trục quay và cận trước khi áp dụng công thức.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1
Quay miền dưới $y=x$ trên $[0;1]$ quanh $Ox$. Tính thể tích.
Cách làm: $V=\pi\int_0^1x^2dx=\dfrac{\pi}{3}$.
Bài tập thực hành
Tự làm các bài dưới đây trước khi mở lời giải.
- Quay miền dưới $y=2$ trên $[0;3]$ quanh $Ox$.
- Công thức khối tròn xoay quanh $Ox$?
- Tại sao phải bình phương $f(x)$?
- Đơn vị của kết quả là gì?
Bài tập về nhà
- Quay $y=\sqrt{x}$ trên $[0;4]$ quanh $Ox$.
- Quay $y=x^2$ trên $[0;1]$ quanh $Ox$.
- Nêu ba bước tính thể tích tròn xoay.
Xem lời giải
Xem lời giải bài tập thực hành
- Cách làm: $V=\pi\int_0^3 4dx=12\pi$.
- Cách làm: $V=\pi\int_a^b[f(x)]^2dx$.
- Cách làm: Diện tích mặt cắt là diện tích hình tròn $\pi r^2$ với $r=|f(x)|$.
- Cách làm: Đơn vị thể tích.
Xem lời giải bài tập về nhà
- Cách làm: $V=\pi\int_0^4x\,dx=8\pi$.
- Cách làm: $V=\pi\int_0^1x^4dx=\dfrac{\pi}{5}$.
- Cách làm: Xác định bán kính mặt cắt; lập $\pi f^2(x)$; tích phân trên cận phù hợp.
Gợi ý học: Tự giải trước, sau đó mở lời giải để đối chiếu phương pháp, công thức và cách trình bày.