Diện tích luôn không âm, trong khi tích phân có thể âm. Vì vậy bài diện tích cần xác định hàm nào nằm trên, các giao điểm và nơi hiệu hai hàm đổi dấu trước khi tính.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Bảng nguyên hàm cơ bản để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Diện tích giữa \(y=f(x)\) và trục hoành trên \([a,b]\) là \(\int_a^b|f(x)|dx\).
- Giữa hai đồ thị \(y=f(x),y=g(x)\), diện tích là \(\int |f(x)-g(x)|dx\) trên miền giới hạn.
- Các giao điểm được tìm từ \(f(x)=g(x)\) và thường là điểm chia khoảng.
- Nếu biết chắc \(f\ge g\) trên đoạn, có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối và tính \(\int(f-g)dx\).
Các công thức chỉ hiệu quả khi dùng đúng điều kiện. Với bài có tham số, căn, mẫu, logarit hoặc lượng giác, nên ghi điều kiện ngay từ đầu thay vì bổ sung sau khi đã biến đổi.
Phương pháp giải theo từng bước
- Tìm giao điểm và xác định khoảng kín tạo miền.
- Xét dấu của \(f-g\) trên từng khoảng con.
- Viết tích phân diện tích với hàm trên trừ hàm dưới.
- Tính từng phần rồi cộng các số dương.
Sau mỗi bước quan trọng, nên tự hỏi phép biến đổi có tương đương hay chỉ là điều kiện cần. Thói quen này đặc biệt hữu ích khi bình phương hai vế, nhân chia với biểu thức chưa biết dấu hoặc đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1
Bài toán: Tính diện tích giới hạn bởi \(y=x\), \(y=x^2\) từ \(x=0\) đến \(x=1\).
Lời giải: Trên \([0,1]\), \(x\ge x^2\). Diện tích \(S=\int_0^1(x-x^2)dx=1/6\).
Ví dụ 2
Bài toán: Tính diện tích giữa \(y=x^2-1\) và trục hoành trên \([-1,1]\).
Lời giải: Trên đoạn này hàm không dương nên \(S=-\int_{-1}^1(x^2-1)dx=4/3\).
Lỗi thường gặp
- Lấy tích phân âm rồi gọi đó là diện tích.
- Không chia khoảng khi hai đồ thị đổi vị trí trên/dưới.
- Tìm thiếu giao điểm nên xác định sai miền kín.
Nếu kết quả cuối là một khoảng nghiệm, một giá trị cực trị hoặc một số đo hình học, hãy kiểm tra nhanh bằng cách thế ngược, ước lượng hoặc đối chiếu với hình vẽ. Một bước kiểm tra ngắn thường phát hiện được lỗi dấu hoặc lỗi điều kiện.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Phác hình nhỏ để biết hàm nào ở trên.
- Nếu hiệu hai hàm dễ phân tích nhân tử, dùng dấu của hiệu để chia khoảng.
Trong bài tự luận, nên viết đủ điều kiện, công thức được sử dụng và kết luận. Không nên thay toàn bộ lập luận bằng kết quả máy tính cầm tay hoặc hình vẽ phần mềm.
Bài tự luyện
- Bài 1: Tính diện tích dưới \(y=2x\) trên \([0,3]\). Đáp án/Gợi ý: Bằng 9.
- Bài 2: Tính diện tích giữa \(y=x^2\) và \(y=2x\) trên miền kín. Đáp án/Gợi ý: Giao tại 0 và 2; diện tích \(\int_0^2(2x-x^2)dx=4/3\).
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Nguyên hàm – Tích phân. Nên học bài P1 nền tảng trước, sau đó chuyển sang các dạng P2 để tăng khả năng nhận dạng và phối hợp phương pháp.