Diện tích luôn không âm, trong khi tích phân có thể âm. Vì vậy bài diện tích cần xác định hàm nào nằm trên, các giao điểm và nơi hiệu hai hàm đổi dấu trước khi tính.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Bảng nguyên hàm cơ bản để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Diện tích giữa \(y=f(x)\) và trục hoành trên \([a,b]\) là \(\int_a^b|f(x)|dx\).
- Giữa hai đồ thị \(y=f(x),y=g(x)\), diện tích là \(\int |f(x)-g(x)|dx\) trên miền giới hạn.
- Các giao điểm được tìm từ \(f(x)=g(x)\) và thường là điểm chia khoảng.
- Nếu biết chắc \(f\ge g\) trên đoạn, có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối và tính \(\int(f-g)dx\).
Phương pháp giải theo từng bước
- Tìm giao điểm và xác định khoảng kín tạo miền.
- Xét dấu của \(f-g\) trên từng khoảng con.
- Viết tích phân diện tích với hàm trên trừ hàm dưới.
- Tính từng phần rồi cộng các số dương.
Ví dụ 1
Bài toán: Tính diện tích giới hạn bởi \(y=x\), \(y=x^2\) từ \(x=0\) đến \(x=1\).
Lời giải: Trên \([0,1]\), \(x\ge x^2\). Diện tích \(S=\int_0^1(x-x^2)dx=1/6\).
Ví dụ 2
Bài toán: Tính diện tích giữa \(y=x^2-1\) và trục hoành trên \([-1,1]\).
Lời giải: Trên đoạn này hàm không dương nên \(S=-\int_{-1}^1(x^2-1)dx=4/3\).
Lỗi thường gặp
- Lấy tích phân âm rồi gọi đó là diện tích.
- Không chia khoảng khi hai đồ thị đổi vị trí trên/dưới.
- Tìm thiếu giao điểm nên xác định sai miền kín.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Phác hình nhỏ để biết hàm nào ở trên.
- Nếu hiệu hai hàm dễ phân tích nhân tử, dùng dấu của hiệu để chia khoảng.
Bài tự luyện
- Bài 1: Tính diện tích dưới \(y=2x\) trên \([0,3]\). Đáp án/Gợi ý: Bằng 9.
- Bài 2: Tính diện tích giữa \(y=x^2\) và \(y=2x\) trên miền kín. Đáp án/Gợi ý: Giao tại 0 và 2; diện tích \(\int_0^2(2x-x^2)dx=4/3\).
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Nguyên hàm – Tích phân.