Xác suất có điều kiện cập nhật khả năng của một biến cố khi đã biết biến cố khác xảy ra. Nó khác với độc lập: hai biến cố độc lập khi biết một biến cố xảy ra không làm thay đổi xác suất của biến cố kia.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- \(P(A|B)=P(A\cap B)/P(B)\) khi \(P(B)>0\).
- Công thức nhân: \(P(A\cap B)=P(B)P(A|B)\).
- A và B độc lập khi \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\).
- Độc lập không đồng nghĩa với xung khắc; hai biến cố xung khắc có giao rỗng.
Các công thức chỉ hiệu quả khi dùng đúng điều kiện. Với bài có tham số, căn, mẫu, logarit hoặc lượng giác, nên ghi điều kiện ngay từ đầu thay vì bổ sung sau khi đã biến đổi.
Phương pháp giải theo từng bước
- Xác định biến cố đã biết là điều kiện.
- Tính xác suất giao và xác suất của biến cố điều kiện.
- Dùng công thức có điều kiện hoặc cây xác suất.
- Nếu đề hỏi độc lập, so sánh \(P(A\cap B)\) với \(P(A)P(B)\).
Sau mỗi bước quan trọng, nên tự hỏi phép biến đổi có tương đương hay chỉ là điều kiện cần. Thói quen này đặc biệt hữu ích khi bình phương hai vế, nhân chia với biểu thức chưa biết dấu hoặc đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1
Bài toán: Một hộp có 3 bi đỏ và 2 bi xanh. Rút liên tiếp 2 bi không hoàn lại. Biết lần đầu rút đỏ, xác suất lần hai đỏ là bao nhiêu?
Lời giải: Sau khi đã rút một bi đỏ, còn 2 đỏ trên 4 bi. Xác suất có điều kiện bằng \(2/4=1/2\).
Ví dụ 2
Bài toán: Gieo một đồng xu và một xúc xắc độc lập. A: đồng xu ngửa; B: xúc xắc ra 6. Tính \(P(A\cap B)\).
Lời giải: \(P(A)=1/2,P(B)=1/6\). Do độc lập, \(P(A\cap B)=1/12\).
Lỗi thường gặp
- Dùng \(P(A|B)=P(A)\) mà chưa biết độc lập.
- Nhầm “không hoàn lại” với các lần thử độc lập.
- Đổi thứ tự điều kiện: \(P(A|B)\) không bằng \(P(B|A)\) nói chung.
Nếu kết quả cuối là một khoảng nghiệm, một giá trị cực trị hoặc một số đo hình học, hãy kiểm tra nhanh bằng cách thế ngược, ước lượng hoặc đối chiếu với hình vẽ. Một bước kiểm tra ngắn thường phát hiện được lỗi dấu hoặc lỗi điều kiện.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Vẽ cây khi có nhiều giai đoạn thường rõ hơn công thức.
- Hãy đọc cụm “biết rằng” như tín hiệu của xác suất có điều kiện.
Trong bài tự luận, nên viết đủ điều kiện, công thức được sử dụng và kết luận. Không nên thay toàn bộ lập luận bằng kết quả máy tính cầm tay hoặc hình vẽ phần mềm.
Bài tự luyện
- Bài 1: Rút 2 lá từ bộ 52 lá không hoàn lại. Biết lá đầu là Át, xác suất lá sau cũng là Át? Đáp án/Gợi ý: \(3/51=1/17\).
- Bài 2: Nếu A và B độc lập với \(P(A)=0,4,P(B)=0,5\), tính \(P(A\cap B)\). Đáp án/Gợi ý: 0,2.
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Tổ hợp – Xác suất – Thống kê. Nên học bài P1 nền tảng trước, sau đó chuyển sang các dạng P2 để tăng khả năng nhận dạng và phối hợp phương pháp.