Tích phân xác định khác nguyên hàm ở chỗ kết quả là một số, không có hằng số \(C\). Nắm định lý Newton–Leibniz và các tính chất tách khoảng, đổi cận giúp rút ngắn nhiều bài.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Bảng nguyên hàm cơ bản để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Nếu \(F'(x)=f(x)\), thì \(\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)\).
- Đổi cận làm đổi dấu: \(\int_a^b f=-\int_b^a f\).
- Có thể tách tại \(c\): \(\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f\).
- Không thêm hằng số \(C\) vào kết quả tích phân xác định.
Phương pháp giải theo từng bước
- Tìm một nguyên hàm \(F\) của hàm dưới dấu tích phân.
- Tính \(F(b)-F(a)\) đúng thứ tự cận trên trừ cận dưới.
- Rút gọn kết quả; nếu hàm cho từng đoạn, tách tích phân tại điểm đổi công thức.
- Kiểm tra dấu: nếu \(f(x)\ge0\) trên đoạn thì tích phân phải không âm.
Ví dụ 1
Bài toán: Tính \(\int_0^2(3x^2+1)dx\).
Lời giải: Một nguyên hàm là \(F(x)=x^3+x\). Kết quả \(F(2)-F(0)=10\).
Ví dụ 2
Bài toán: Tính \(\int_1^e 1/x\,dx\).
Lời giải: Nguyên hàm là \(\ln|x|\). Kết quả \(\ln e-\ln1=1\).
Lỗi thường gặp
- Viết thêm \(+C\) vào đáp số.
- Thay cận sai thứ tự.
- Dùng \(\ln x\) khi khoảng tích phân đi qua số âm mà không xét \(\ln|x|\) và điều kiện.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Ước lượng dấu và độ lớn trước khi bấm máy.
- Nếu đề cho sẵn vài giá trị tích phân, ưu tiên dùng tính tuyến tính thay vì tìm nguyên hàm lại.
Các tính chất giúp tính nhanh
- Tính tuyến tính: \(\int_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,dx=\alpha\int_a^b f(x)\,dx+\beta\int_a^b g(x)\,dx\). Khi đề cho sẵn giá trị của hai tích phân, nên khai thác tính chất này trước khi tìm nguyên hàm.
- Hàm lẻ trên đoạn đối xứng: nếu \(f(-x)=-f(x)\) thì \(\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0\).
- Hàm chẵn trên đoạn đối xứng: nếu \(f(-x)=f(x)\) thì \(\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int_0^a f(x)\,dx\).
Ví dụ 3: khai thác tính đối xứng
Bài toán: Tính \(\int_{-2}^{2}(x^3+2)\,dx\).
Lời giải: Hàm \(x^3\) là hàm lẻ nên tích phân của \(x^3\) trên \([-2,2]\) bằng 0. Phần hằng số cho \(\int_{-2}^{2}2\,dx=2\cdot4=8\). Vậy tích phân bằng \(8\).
Khi nào phải tách khoảng trước khi tính?
Định lý Newton–Leibniz được dùng trên đoạn mà hàm dưới dấu tích phân thích hợp và có nguyên hàm trên đoạn xét. Nếu biểu thức không xác định tại một điểm nằm giữa hai cận, không được thay cận máy móc như một tích phân xác định thông thường. Với hàm cho bởi nhiều công thức, hãy tách tại điểm đổi công thức rồi tính từng phần.
Bài tự luyện
- Bài 1: Tính \(\int_0^1(2x+3)dx\). Đáp án/Gợi ý: Bằng 4.
- Bài 2: Tính \(\int_0^{\pi}\sin x\,dx\). Đáp án/Gợi ý: Bằng 2.
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Nguyên hàm – Tích phân.