Tích phân xác định khác nguyên hàm ở chỗ kết quả là một số, không có hằng số \(C\). Nắm định lý Newton–Leibniz và các tính chất tách khoảng, đổi cận giúp rút ngắn nhiều bài.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Bảng nguyên hàm cơ bản để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Nếu \(F'(x)=f(x)\), thì \(\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)\).
- Đổi cận làm đổi dấu: \(\int_a^b f=-\int_b^a f\).
- Có thể tách tại \(c\): \(\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f\).
- Không thêm hằng số \(C\) vào kết quả tích phân xác định.
Các công thức chỉ hiệu quả khi dùng đúng điều kiện. Với bài có tham số, căn, mẫu, logarit hoặc lượng giác, nên ghi điều kiện ngay từ đầu thay vì bổ sung sau khi đã biến đổi.
Phương pháp giải theo từng bước
- Tìm một nguyên hàm \(F\) của hàm dưới dấu tích phân.
- Tính \(F(b)-F(a)\) đúng thứ tự cận trên trừ cận dưới.
- Rút gọn kết quả; nếu hàm cho từng đoạn, tách tích phân tại điểm đổi công thức.
- Kiểm tra dấu: nếu \(f(x)\ge0\) trên đoạn thì tích phân phải không âm.
Sau mỗi bước quan trọng, nên tự hỏi phép biến đổi có tương đương hay chỉ là điều kiện cần. Thói quen này đặc biệt hữu ích khi bình phương hai vế, nhân chia với biểu thức chưa biết dấu hoặc đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1
Bài toán: Tính \(\int_0^2(3x^2+1)dx\).
Lời giải: Một nguyên hàm là \(F(x)=x^3+x\). Kết quả \(F(2)-F(0)=10\).
Ví dụ 2
Bài toán: Tính \(\int_1^e 1/x\,dx\).
Lời giải: Nguyên hàm là \(\ln|x|\). Kết quả \(\ln e-\ln1=1\).
Lỗi thường gặp
- Viết thêm \(+C\) vào đáp số.
- Thay cận sai thứ tự.
- Dùng \(\ln x\) khi khoảng tích phân đi qua số âm mà không xét \(\ln|x|\) và điều kiện.
Nếu kết quả cuối là một khoảng nghiệm, một giá trị cực trị hoặc một số đo hình học, hãy kiểm tra nhanh bằng cách thế ngược, ước lượng hoặc đối chiếu với hình vẽ. Một bước kiểm tra ngắn thường phát hiện được lỗi dấu hoặc lỗi điều kiện.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Ước lượng dấu và độ lớn trước khi bấm máy.
- Nếu đề cho sẵn vài giá trị tích phân, ưu tiên dùng tính tuyến tính thay vì tìm nguyên hàm lại.
Trong bài tự luận, nên viết đủ điều kiện, công thức được sử dụng và kết luận. Không nên thay toàn bộ lập luận bằng kết quả máy tính cầm tay hoặc hình vẽ phần mềm.
Bài tự luyện
- Bài 1: Tính \(\int_0^1(2x+3)dx\). Đáp án/Gợi ý: Bằng 4.
- Bài 2: Tính \(\int_0^{\pi}\sin x\,dx\). Đáp án/Gợi ý: Bằng 2.
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Nguyên hàm – Tích phân. Nên học bài P1 nền tảng trước, sau đó chuyển sang các dạng P2 để tăng khả năng nhận dạng và phối hợp phương pháp.