Đường thẳng trong Oxyz được xác định bởi một điểm và một vectơ chỉ phương. Dạng tham số là cơ bản và luôn dùng được; dạng chính tắc chỉ thuận tiện khi các thành phần của vectơ chỉ phương khác 0.
Kiến thức cốt lõi cần nắm
- Qua \(M_0(x_0,y_0,z_0)\), chỉ phương \(\vec u=(a,b,c)\ne\vec0\): \(x=x_0+at,y=y_0+bt,z=z_0+ct\).
- Nếu \(abc\ne0\), dạng chính tắc là \(\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\).
- Hai đường song song khi các vectơ chỉ phương cùng phương; vuông góc về phương khi tích vô hướng của chỉ phương bằng 0, nhưng trong không gian còn phải xét vị trí để kết luận giao vuông góc.
- Đường vuông góc mặt phẳng có thể lấy pháp tuyến của mặt phẳng làm vectơ chỉ phương.
Điểm quan trọng là không tách công thức khỏi điều kiện áp dụng. Khi gặp bài mới, hãy xác định cấu trúc trước rồi mới chọn công cụ; cách này giúp giảm đáng kể các lỗi biến đổi theo thói quen.
Quy trình giải theo từng bước
- Tìm một điểm thuộc đường.
- Tìm vectơ chỉ phương từ hai điểm, từ đường song song hoặc pháp tuyến của mặt vuông góc.
- Viết dạng tham số trước.
- Nếu cần dạng chính tắc, chỉ chuyển khi mẫu số thích hợp; thành phần chỉ phương bằng 0 phải được viết dưới dạng tọa độ cố định.
Nếu bài có nhiều dữ kiện, nên ghi các điều kiện ở đầu lời giải. Sau mỗi phép biến đổi có thể làm thay đổi miền nghiệm hoặc miền xác định, cần đánh dấu để đối chiếu ở cuối.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Bài toán: Lập đường qua \(A(1,2,3)\) có chỉ phương \((2,-1,4)\).
Lời giải: \(x=1+2t,y=2-t,z=3+4t\).
Ví dụ 2
Bài toán: Đường qua A và B với \(A(0,0,0),B(1,2,3)\).
Lời giải: Chỉ phương \(\overrightarrow{AB}=(1,2,3)\), nên \(x=t,y=2t,z=3t\).
Lỗi thường gặp và cách tránh
- Dùng pháp tuyến làm chỉ phương dù đường không được cho vuông góc mặt.
- Viết dạng chính tắc với mẫu bằng 0.
- Hai vectơ chỉ phương vuông góc rồi kết luận hai đường vuông góc dù chúng chéo nhau.
- Nhầm điểm thuộc đường với vectơ chỉ phương.
Một cách tự kiểm tra hiệu quả là thử lại kết quả bằng dữ kiện ban đầu hoặc bằng một cách nhìn thứ hai như đồ thị, dấu của biểu thức hay tính chất hình học. Máy tính cầm tay chỉ nên dùng để kiểm tra số gần đúng, không thay thế bước lập luận khi đề yêu cầu lời giải.
Bài tập tự luyện
-
Qua \((1,0,0)\), chỉ phương \((0,1,0)\)
Đáp số/Gợi ý: \(x=1,y=t,z=0\)
-
Qua O, chỉ phương \((1,1,1)\)
Đáp số/Gợi ý: \(x=y=z\) theo dạng chính tắc
-
Đường vuông góc mặt \(2x-y+z=0\) có thể dùng chỉ phương
Đáp số/Gợi ý: \((2,-1,1)\)
-
Hai chỉ phương \((1,2,3)\), \((2,4,6)\)
Đáp số/Gợi ý: Cùng phương
Checklist trước khi kết luận
- Đã ghi đủ điều kiện xác định hoặc điều kiện của biến chưa?
- Công thức đang dùng có đúng dạng và đúng điều kiện không?
- Có phép chia, bình phương, lấy log hoặc đổi biến nào có thể sinh/mất nghiệm không?
- Kết quả cuối đã đúng đơn vị, đúng miền và đúng yêu cầu “chính xác” hay “gần đúng” của đề chưa?
Xem thêm các bài cùng nhóm Tọa độ Oxyz để luyện theo dạng thay vì học rời từng công thức.