Đường thẳng trong Oxyz được xác định bởi một điểm và một vectơ chỉ phương. Dạng tham số là cơ bản và luôn dùng được; dạng chính tắc chỉ thuận tiện khi các thành phần của vectơ chỉ phương khác 0.
Kiến thức cốt lõi cần nắm
- Qua \(M_0(x_0,y_0,z_0)\), chỉ phương \(\vec u=(a,b,c)\ne\vec0\): \(x=x_0+at,y=y_0+bt,z=z_0+ct\).
- Nếu \(abc\ne0\), dạng chính tắc là \(\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}\).
- Hai đường song song khi các vectơ chỉ phương cùng phương; vuông góc về phương khi tích vô hướng của chỉ phương bằng 0, nhưng trong không gian còn phải xét vị trí để kết luận giao vuông góc.
- Đường vuông góc mặt phẳng có thể lấy pháp tuyến của mặt phẳng làm vectơ chỉ phương.
Quy trình giải theo từng bước
- Tìm một điểm thuộc đường.
- Tìm vectơ chỉ phương từ hai điểm, từ đường song song hoặc pháp tuyến của mặt vuông góc.
- Viết dạng tham số trước.
- Nếu cần dạng chính tắc, chỉ chuyển khi mẫu số thích hợp; thành phần chỉ phương bằng 0 phải được viết dưới dạng tọa độ cố định.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Bài toán: Lập đường qua \(A(1,2,3)\) có chỉ phương \((2,-1,4)\).
Lời giải: \(x=1+2t,y=2-t,z=3+4t\).
Ví dụ 2
Bài toán: Đường qua A và B với \(A(0,0,0),B(1,2,3)\).
Lời giải: Chỉ phương \(\overrightarrow{AB}=(1,2,3)\), nên \(x=t,y=2t,z=3t\).
Lỗi thường gặp và cách tránh
- Dùng pháp tuyến làm chỉ phương dù đường không được cho vuông góc mặt.
- Viết dạng chính tắc với mẫu bằng 0.
- Hai vectơ chỉ phương vuông góc rồi kết luận hai đường vuông góc dù chúng chéo nhau.
- Nhầm điểm thuộc đường với vectơ chỉ phương.
Bài tập tự luyện
-
Qua \((1,0,0)\), chỉ phương \((0,1,0)\)
Đáp số/Gợi ý: \(x=1,y=t,z=0\)
-
Qua O, chỉ phương \((1,1,1)\)
Đáp số/Gợi ý: \(x=y=z\) theo dạng chính tắc
-
Đường vuông góc mặt \(2x-y+z=0\) có thể dùng chỉ phương
Đáp số/Gợi ý: \((2,-1,1)\)
-
Hai chỉ phương \((1,2,3)\), \((2,4,6)\)
Đáp số/Gợi ý: Cùng phương
Checklist trước khi kết luận
- Đã xác định đúng một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ chỉ phương khác vectơ-không?
- Dạng tham số/chính tắc đã dùng cùng một vectơ chỉ phương và xử lý đúng tọa độ chỉ phương bằng 0?
- Các điều kiện song song, vuông góc hoặc giao với đối tượng khác đã được chuyển đúng sang quan hệ vectơ?
Quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng được hệ thống trong vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong Oxyz.
Xem thêm các bài cùng nhóm Tọa độ Oxyz.