Với dãy số cách đều, sau khi xác định số số hạng có thể dùng cách ghép đầu – cuối để tính tổng nhanh.
1. Kiến thức cần nhớ
- Số số hạng = (số cuối – số đầu) : khoảng cách + 1, với dãy tăng đều.
- Tổng = (số đầu + số cuối) × số số hạng : 2.
- Có thể ghép số đầu với số cuối, số thứ hai với số áp cuối… để thấy các cặp có tổng bằng nhau.
- Phải xác định đúng số cuối thuộc dãy.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: 1 + 3 + … + 19: có (19-1):2+1 = 10 số; tổng = (1+19)×10:2 = 100.
Ví dụ 2: 5 + 10 + … + 50: 10 số; tổng = 55×10:2 = 275.
Ví dụ 3: 2 + 4 + … + 100 = 50 số; tổng = 102×50:2 = 2550.
3. Cách áp dụng vào bài tập
- Xác định số hạng đầu, số hạng cuối, khoảng cách và số số hạng của dãy.
- Tính số số hạng bằng (số cuối − số đầu) : khoảng cách + 1 đối với dãy tăng đều phù hợp.
- Dùng cách ghép đầu với cuối: mỗi cặp có cùng tổng; từ đó tính tổng bằng (số đầu + số cuối) × số số hạng : 2.
- Kiểm tra riêng trường hợp số số hạng lẻ: công thức vẫn đúng, còn nếu ghép trực quan sẽ có một số ở giữa.
Điểm cần tự kiểm tra: Trước khi dùng công thức tổng, phải chắc chắn dãy cách đều. Nếu khoảng cách thay đổi, cần tìm quy luật khác.
4. Lỗi thường gặp
- Quên cộng 1 khi tìm số số hạng.
- Dùng khoảng cách sai.
- Lấy trung bình đầu-cuối nhưng quên nhân số số hạng.
5. Bài tự luyện
- Tính 3+6+…+30.
- Tính 4+8+…+40.
- Tính tổng các số lẻ từ 1 đến 29.
Đáp số: 165; 220; 225.
Học tiếp theo chuyên đề
Đếm số số hạng trước khi tính tổng
Với dãy cách đều từ a đến b, công sai d và b là một số hạng của dãy, số số hạng là (b − a) : d + 1. Sau đó tổng = (số đầu + số cuối) × số số hạng : 2. Ví dụ 2 + 5 + 8 + … + 29 có (29 − 2) : 3 + 1 = 10 số hạng; tổng = (2 + 29) × 10 : 2 = 155.
Lỗi thường gặp là quên “+1”, khiến thiếu đúng một số hạng.
Ba bước để tính tổng dãy số cách đều
Không nên áp dụng công thức ngay khi chưa xác định đủ số đầu, số cuối, khoảng cách và số số hạng. Với dãy tăng đều a, a+d, a+2d,…, b thì số số hạng là (b − a) : d + 1, với điều kiện b thực sự thuộc dãy.
Ví dụ 1: dãy số tự nhiên cách đều
Tính 4 + 7 + 10 + … + 49. Có (49 − 4) : 3 + 1 = 16 số hạng. Tổng bằng (4 + 49) × 16 : 2 = 424.
Ví dụ 2: phát hiện số cuối không thuộc dãy
Dãy 2, 6, 10, 14,… tăng 4. Số 31 không thuộc dãy vì (31 − 2) không chia hết cho 4. Nếu đề viết “đến số không vượt quá 31” thì số cuối đúng phải là 30.
Cách ghép cặp để hiểu công thức
Với 1 + 2 + … + 10, ghép 1 với 10, 2 với 9,… mỗi cặp được 11 và có 5 cặp, nên tổng là 55. Khi số số hạng lẻ, số ở giữa không có bạn ghép nhưng công thức vẫn đúng.
Bài luyện
- Tính 5 + 10 + 15 + … + 100.
- Tính 21 + 24 + 27 + … + 60.
- Dãy 8, 13, 18,… có số 103 không?
Đáp số: 1050; 567; có, vì (103 − 8) : 5 = 19.
Dãy chỉ lấy số chẵn hoặc số lẻ
Tổng các số chẵn từ 2 đến 50 có 25 số hạng, nên tổng=(2+50)×25:2=650. Tổng các số lẻ từ 1 đến 49 cũng có 25 số hạng, tổng=(1+49)×25:2=625. Qua hai ví dụ, học sinh có thể thấy cùng số số hạng nhưng số đầu và số cuối khác sẽ làm tổng khác.
Khi đề cho số số hạng thay vì số cuối, hãy tìm số cuối trước bằng a+(n−1)×d rồi mới dùng công thức tổng.