Dãy số cách đều là dãy mà hiệu giữa hai số hạng liên tiếp không đổi. Khi biết số đầu và khoảng cách, có thể tìm số hạng thứ n mà không cần viết toàn bộ dãy.
1. Kiến thức cần nhớ
- Nếu số đầu là a và khoảng cách là d thì số hạng thứ n: a + (n – 1) × d.
- Từ số hạng thứ nhất đến số hạng thứ n có n – 1 khoảng.
- Dãy giảm đều có thể coi d là số âm hoặc dùng phép trừ.
- Luôn kiểm tra n = 1 để công thức trả về số đầu.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: 2, 5, 8, 11,… có d=3; số hạng thứ 10 = 2 + 9×3 = 29.
Ví dụ 2: 100, 95, 90,… số hạng thứ 8 = 100 – 7×5 = 65.
Ví dụ 3: Dãy số lẻ 1,3,5,… số hạng thứ n = 2n – 1.
3. Cách áp dụng vào bài tập
- Xác định số hạng đầu a₁ và khoảng cách d giữa hai số hạng liên tiếp bằng phép trừ.
- Từ số hạng thứ nhất đến số hạng thứ n có n − 1 khoảng cách, nên aₙ = a₁ + (n − 1) × d với dương hoặc âm tùy dãy tăng hay giảm.
- Thay n vào công thức hoặc đếm số khoảng cách trên một ví dụ nhỏ để tránh nhầm n với n − 1.
- Kiểm tra bằng cách tính vài số hạng đầu theo quy luật và xem số hạng tìm được nằm đúng vị trí.
Điểm cần tự kiểm tra: Nếu dãy bắt đầu 5, 8, 11,… thì số hạng thứ 4 là 5 + 3 × 3 = 14. Có 3 khoảng từ số hạng 1 đến số hạng 4.
4. Lỗi thường gặp
- Dùng n×d thay vì (n-1)×d.
- Nhầm số khoảng với số số hạng.
- Áp dụng cho dãy không cách đều.
5. Bài tự luyện
- Tìm số hạng thứ 15 của 4, 7, 10,…
- Tìm số hạng thứ 12 của 50, 46, 42,…
- Số hạng thứ 20 của dãy 2,4,6,… là bao nhiêu?
Đáp số: 46; 6; 40.
Học tiếp theo chuyên đề
Công thức và cách kiểm tra chỉ số
Với dãy cách đều có số đầu a và công sai d, số hạng thứ n là a + (n − 1) × d. Sở dĩ là n − 1 vì từ số hạng thứ nhất đến số hạng thứ n chỉ có n − 1 “bước nhảy”. Ví dụ dãy 5, 8, 11, … có số hạng thứ 10 là 5 + 9 × 3 = 32.
Kiểm tra nhanh: thay n = 1 vào công thức phải thu được đúng số hạng đầu. Nếu ra a + d thì bạn đã dùng nhầm n thay vì n − 1.
Từ vị trí đến giá trị: luôn đếm số khoảng
Từ số hạng thứ 1 đến số hạng thứ n có n−1 khoảng. Đây là lý do dãy tăng đều có công thức aₙ = a₁ + (n−1)×d. Học sinh thường sai vì lấy n×d.
Ví dụ tăng đều
Dãy 7, 12, 17, 22,… có khoảng cách 5. Số hạng thứ 25 là 7 + 24×5 = 127.
Dãy giảm đều
200, 193, 186,… giảm 7 mỗi bước. Số hạng thứ 16 là 200 − 15×7 = 95.
Tìm vị trí của một số
Trong dãy 4, 9, 14,… số 99 đứng thứ mấy? Ta có (99−4):5 = 19 khoảng, nên vị trí là 19+1 = 20. Nếu hiệu không chia hết cho khoảng cách thì số đó không thuộc dãy.
Bài luyện
- Số hạng thứ 30 của 2, 6, 10,…
- Số 101 có thuộc dãy 5, 11, 17,… không?
- Tìm vị trí của 76 trong dãy 1, 6, 11,…
Đáp số: 118; có, vị trí 17; vị trí 16.
Liên hệ số số hạng
Nếu biết số cuối b, có thể tìm số số hạng n=(b−a):d+1 với dãy tăng đều. Ví dụ dãy 3,8,13,…,98 có (98−3):5+1=20 số hạng. Công thức này và công thức số hạng thứ n là hai chiều của cùng một quan hệ.
Với dãy giảm, dùng độ giảm dương để tránh nhầm dấu: 80,74,68,… giảm 6; số hạng thứ n =80−(n−1)×6.
Nếu bài hỏi về số chữ số thay vì giá trị số hạng, xem thêm cách đếm số chữ số khi viết dãy số tự nhiên; dạng này cũng liên hệ với bài toán đánh số trang sách.