Bài toán đánh số trang sách: tính số chữ số và tìm số trang

Bài toán đánh số trang sách là một ứng dụng của bài toán đếm chữ số. Không nên cộng từng trang mà cần chia số trang thành nhóm 1 chữ số, 2 chữ số, 3 chữ số…

1. Các mốc cần nhớ

• 1–9: 9 số, dùng 9 chữ số.
• 10–99: 90 số, dùng 90 × 2 = 180 chữ số.
• 100–999: 900 số, dùng 900 × 3 = 2700 chữ số.

Từ a đến b, tính cả hai đầu, có b − a + 1 số.

2. Biết số trang, tính số chữ số

Quyển sách có 125 trang. Trang 1–9 dùng 9 chữ số; 10–99 dùng 180 chữ số; 100–125 có 26 trang nên dùng 26 × 3 = 78 chữ số. Tổng là 9 + 180 + 78 = 267 chữ số.

3. Biết tổng chữ số, tìm trang cuối

Đánh số từ trang 1 hết 252 chữ số. Hai nhóm đầu dùng 9 + 180 = 189 chữ số, còn 63. Nhóm ba chữ số có 63 : 3 = 21 trang, tức từ 100 đến 120. Vậy trang cuối là 120.

Nếu phần chữ số còn lại không chia hết cho số chữ số của mỗi trang thì phải đọc lại đề, vì một số trang phải được viết đủ chữ số.

4. Đánh số từ một trang khác 1

Từ trang 38 đến 64 có 64 − 38 + 1 = 27 trang, tất cả đều có hai chữ số nên dùng 27 × 2 = 54 chữ số.

Từ 95 đến 105 phải chia nhóm: 95–99 có 5 số hai chữ số; 100–105 có 6 số ba chữ số. Tổng chữ số là 5 × 2 + 6 × 3 = 28.

5. Phân biệt số trang và số chữ số

Từ 10 đến 99 có 90 trang nhưng cần 180 chữ số để viết số trang. Đây là hai đại lượng khác nhau.

6. Quy trình giải

1. Xác định trang bắt đầu và trang cuối hoặc tổng chữ số.
2. Đánh dấu các mốc 9, 99, 999.
3. Đếm số trang từng nhóm bằng số cuối − số đầu + 1.
4. Nhân với số chữ số của mỗi số trong nhóm.
5. Cộng các nhóm hoặc làm ngược bằng cách trừ dần.

7. Lỗi thường gặp

• Quên +1 khi đếm số trang trong đoạn.
• Lấy số trang bằng số chữ số.
• Không chia nhóm khi vượt 9, 99, 999.
• Trong bài toán ngược, chia phần còn lại cho sai số chữ số của nhóm.

8. Bài tập tự luyện

1. Đánh số 1–75 cần bao nhiêu chữ số?
2. Đánh số 1–120 cần bao nhiêu chữ số?
3. Dùng 348 chữ số để đánh từ trang 1. Trang cuối là bao nhiêu?
4. Đánh số từ 87 đến 112 cần bao nhiêu chữ số?
5. Từ 38 đến 64 có bao nhiêu trang?

Đáp án

1. 9 + 66 × 2 = 141.
2. 9 + 180 + 21 × 3 = 252.
3. 348 − 189 = 159; 159 : 3 = 53; trang cuối 99 + 53 = 152.
4. 87–99 có 13 trang: 26 chữ số; 100–112 có 13 trang: 39 chữ số; tổng 65.
5. 27 trang.

9. Ví dụ ngược vượt sang số có bốn chữ số

Nếu một bài cho số chữ số rất lớn, quy trình vẫn không đổi: trừ 9 chữ số của nhóm 1 chữ số, trừ 180 của nhóm 2 chữ số, trừ 2700 của nhóm 3 chữ số; phần còn lại chia cho 4 để biết có bao nhiêu trang bốn chữ số. Học sinh không cần học thuộc một công thức dài mà chỉ cần nhớ cách chia nhóm.

10. Bài toán trang đầu không được đánh số

Một số sách có bìa, trang lót hoặc phần đầu không in số. Nếu đề nói “bắt đầu đánh số từ trang 3” thì phải làm đúng dữ kiện đó, không mặc định từ 1. Ví dụ đánh số từ 3 đến 25: các trang 3–9 có 7 chữ số; 10–25 có 16 trang, dùng 32 chữ số; tổng 39 chữ số.

11. Cách kiểm tra kết quả bằng ước lượng

Quyển 120 trang chắc chắn dùng nhiều hơn 120 chữ số vì phần lớn số trang có 2 hoặc 3 chữ số. Nếu tính ra 98 chữ số thì chắc chắn sai. Với 120 trang, kết quả 252 chữ số là hợp lí vì 90 trang hai chữ số đã dùng 180 chữ số.

12. Câu hỏi thường gặp

Tại sao từ 100 đến 125 có 26 số?

Vì phải tính cả 100 và 125: 125 − 100 + 1 = 26.

Có tính chữ số 0 trong số trang không?

Có. Số 105 có ba chữ số là 1, 0, 5; chữ số 0 vẫn là một chữ số được in.

Đánh số “0, 1, 2, …” có dùng cùng công thức không?

Có thể dùng cùng tư duy chia nhóm nhưng phải tính thêm số 0 ở đầu. Bài sách thông thường bắt đầu từ trang 1 trừ khi đề nói khác.

Vẽ “ba vùng” 1 chữ số, 2 chữ số, 3 chữ số

Sơ đồ nhóm giúp nhìn ngay tại sao phải trừ dần. Nếu đã dùng hết 189 chữ số cho các trang 1–99, mọi chữ số còn lại sẽ thuộc nhóm trang có ba chữ số cho đến 999.

Ví dụ ngược có dư

Giả sử có 250 chữ số để đánh số liên tiếp từ trang 1. Sau trang 99 đã dùng 189, còn 61. Vì 61 không chia hết cho 3, không thể kết thúc đúng sau một số trang nếu mỗi trang phải được viết trọn vẹn. Có thể đánh hết 20 trang ba chữ số (60 chữ số), tức đến trang 119, và còn thừa 1 chữ số. Đây là dấu hiệu cần đọc lại cách hỏi của đề.

Nếu bắt đầu từ trang khác 1

Từ 98 đến 104: 98–99 có 2 trang hai chữ số dùng 4 chữ số; 100–104 có 5 trang ba chữ số dùng 15 chữ số; tổng 19 chữ số.