Đạo hàm không khó ở việc nhớ bảng công thức mà ở nhận dạng cấu trúc của hàm. Đặc biệt, hàm hợp cần áp dụng quy tắc dây chuyền: đạo hàm lớp ngoài rồi nhân đạo hàm lớp trong.
Kiến thức cốt lõi cần nắm
- Các quy tắc: \((u+v)’=u’+v’\), \((uv)’=u’v+uv’\), \((u/v)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).
- \((x^n)’=nx^{n-1}\), \((e^x)’=e^x\), \((\ln x)’=1/x\), \((\sin x)’=\cos x\), \((\cos x)’=-\sin x\).
- Hàm hợp: nếu \(y=f(u(x))\) thì \(y’=f'(u(x))u'(x)\).
- Ví dụ \((3x+1)^5\) có lớp ngoài \(t^5\) và lớp trong \(3x+1\).
Quy trình giải theo từng bước
- Nhìn biểu thức từ ngoài vào trong để xác định lớp.
- Chọn quy tắc tổng, tích, thương hoặc hàm hợp ở lớp ngoài cùng.
- Đạo hàm từng thành phần và giữ nguyên cấu trúc cho đến khi đủ hệ số.
- Rút gọn sau cùng để tránh bỏ nhân tử do quy tắc dây chuyền.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Bài toán: Tính đạo hàm \(y=(3x+1)^5\).
Lời giải: \(y’=5(3x+1)^4\cdot3=15(3x+1)^4\).
Ví dụ 2
Bài toán: Tính đạo hàm \(y=\ln(x^2+1)\).
Lời giải: Lớp ngoài là ln, lớp trong là \(x^2+1\): \(y’=\dfrac{2x}{x^2+1}\).
Lỗi thường gặp và cách tránh
- Đạo hàm của hàm hợp nhưng quên nhân đạo hàm lớp trong.
- Đạo hàm tích thành \(u’v’\).
- Đạo hàm \(\cos x\) thiếu dấu âm.
- Rút gọn quá sớm và làm mất ngoặc của hàm hợp.
Bài tập tự luyện
-
\(\left((2x-1)^4\right)’\)
Đáp số/Gợi ý: \(8(2x-1)^3\)
-
\((e^{3x})’\)
Đáp số/Gợi ý: \(3e^{3x}\)
-
\((\sin2x)’\)
Đáp số/Gợi ý: \(2\cos2x\)
-
\((x\ln x)’\)
Đáp số/Gợi ý: \(\ln x+1\), \(x>0\)
Checklist trước khi kết luận
- Đã nhận đúng lớp ngoài và lớp trong trước khi áp dụng quy tắc hàm hợp?
- Với tích hoặc thương, đã dùng đúng quy tắc thay vì đạo hàm từng thừa số rồi nhân/chia trực tiếp?
- Kết quả đã được rút gọn vừa đủ và kiểm tra nhanh bằng một giá trị đơn giản nếu có thể?
Ứng dụng gần nhất của bảng đạo hàm là lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị.
Xem thêm các bài cùng nhóm Đạo hàm – Khảo sát hàm số.